2017年8月3日木曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題46、47、48、49、50.を取り組んでみる。

    • f'( x )=1sin x 2 0
    • 増加する範囲。

    • 減少する範囲。

      ϕ
    • 極大点。

    • 極小点。

    • f'( x )=cosx+cos x 2 sin 2 x =cosx+2 cos 2 x1 =2 cos 2 x+cosx1 2 cos 2 x+cosx1=0 cosx= 1± 1+8 4 = 1±3 4 =1, 1 2
    • 増加する範囲。

      1<cosx< 1 2 π 3 +2nπ<x< 5 3 π+2nπ
    • 減少する範囲。

      π 3 +2nπ<x< π 3 +2nπ
    • 極大点。

      x= 5 3 π+2nπ
    • 極小点。

      x= π 3 +2nπ
    • f'( x )=2cos2x( 2 cos 2 2x2 sin 2 2x ) =2( cos2x cos 2 2x+ sin 2 2x ) =2( cos2x2 cos 2 2x+1 ) =2( 2 cos 2 2xcos2x1 ) 2 cos 2 2xcos2x1=0 cos2x= 1± 1+8 4 = 1±3 4 =1, 1 2
    • 増加する範囲。

      1 2 <cos2x 2 3 π+2nπ<2x< 2 3 π+2nπ 2 3 π+nπ<x< π 3 +nπ
    • 減少する範囲。

      2 3 π+2nπ<2x< 4 3 π+2nπ π 3 +nπ<x< 2 3 π+nπ
    • 極大点。

      x= π 3 +nπ
    • 極小点。

      x= 2 3 π+nπ
    • f'( x )=cosx3 sin 2 xcosx =cosx( 13 sin 2 x ) 13 sin 2 x=0 sin 2 x= 1 3 sinx=± 1 3 x=±arcsin 1 3
    • 増加する範囲。

      2nπ<x<arcsin 1 3 +2nπ, π 2 +2nπ<x<πarcsin 1 3 +2nπ, π+arcsin 1 3 +2nπ<x< 3 2 π+2nπ,2πarcsin 1 3 +2nπ<x<2π+2nπ
    • 減少する範囲。

      2nπ<x<arcsin 1 3 +2nπ, π 2 +2nπ<x<πarcsin 1 3 +2nπ, π+arcsin 1 3 +2nπ<x< 3 2 π+2nπ,2πarcsin 1 3 +2nπ<x<2π+2nπ
    • 極大点。

      x=arcsin 1 3 +2nπ,πarcsin 1 3 +2nπ, 3 2 π+2nπ
    • 極小点。

      x= π 2 +2nπ,π+arcsin 1 3 +2nπ,2πarcsin 1 3 +2nπ
    • f'( x )=sinx+3 cos 2 xsinx =sinx( 3 cos 2 x1 ) 3 cos 2 x1=0 cos 2 x= 1 3 cosx=± 1 3
    • 増加する範囲。

      2nπ<x<arccos 1 3 +2nπ, arccos( 1 3 )+2nπ<x<π+2nπ, arccos 1 3 +π<x<arccos( 1 3 )+π
    • 減少する範囲。

      arccos 1 3 +2nπ<x<arccos( 1 3 )+2nπ, π+2nπ<x<arccos 1 3 +π+2nπ, arccos( 1 3 )+π+2nπ<x<2π+2nπ
    • 極大点。

      x=arccos 1 3 +2nπ,π+2nπ,arccos( 1 3 )+π
    • 極小点。

      x=arccos( 1 3 )+2nπ,arccos 1 3 +π+2nπ,2π+2nπ

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot, sqrt, sin, cos, Rational

x = symbols('x')
fs = [x + 2 * cos(x / 2),
      sin(x) + sin(x) * cos(x),
      sin(2 * x) - sin(2 * x) * cos(2 * x),
      sin(x) - sin(x) ** 3,
      cos(x) - cos(x) ** 3]

for i, f in enumerate(fs, 46):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample46.py
(46)
d ⎛         ⎛x⎞⎞
──⎜x + 2⋅cos⎜─⎟⎟
dx⎝         ⎝2⎠⎠
     ⎛x⎞    
- sin⎜─⎟ + 1
     ⎝2⎠    
[π]
    ⎛         ⎛x⎞⎞
lim ⎜x + 2⋅cos⎜─⎟⎟
x─→∞⎝         ⎝2⎠⎠
∞
     ⎛         ⎛x⎞⎞
 lim ⎜x + 2⋅cos⎜─⎟⎟
x─→-∞⎝         ⎝2⎠⎠
-∞

(47)
d                         
──(sin(x)⋅cos(x) + sin(x))
dx                        
     2         2            
- sin (x) + cos (x) + cos(x)
⎡-π   π⎤
⎢───, ─⎥
⎣ 3   3⎦
lim (sin(x)⋅cos(x) + sin(x))
x─→∞                        
<-2, 2>
 lim (sin(x)⋅cos(x) + sin(x))
x─→-∞                        
<-2, 2>

(48)
d                                
──(-sin(2⋅x)⋅cos(2⋅x) + sin(2⋅x))
dx                               
     2             2                  
2⋅sin (2⋅x) - 2⋅cos (2⋅x) + 2⋅cos(2⋅x)
⎡   -π   π⎤
⎢0, ───, ─⎥
⎣    3   3⎦
lim (-sin(2⋅x)⋅cos(2⋅x) + sin(2⋅x))
x─→∞                               
<-2, 2>
 lim (-sin(2⋅x)⋅cos(2⋅x) + sin(2⋅x))
x─→-∞                               
<-2, 2>

(49)
d ⎛     3            ⎞
──⎝- sin (x) + sin(x)⎠
dx                    
       2                   
- 3⋅sin (x)⋅cos(x) + cos(x)
⎡-π   π         ⎛  ___________⎞        ⎛  ___________⎞         ⎛  __________⎞ 
⎢───, ─, -2⋅atan⎝╲╱ -2⋅√6 + 5 ⎠, 2⋅atan⎝╲╱ -2⋅√6 + 5 ⎠, -2⋅atan⎝╲╱ 2⋅√6 + 5 ⎠,
⎣ 2   2                                                                       

       ⎛  __________⎞⎤
 2⋅atan⎝╲╱ 2⋅√6 + 5 ⎠⎥
                     ⎦
    ⎛     3            ⎞
lim ⎝- sin (x) + sin(x)⎠
x─→∞                    
<-2, 2>
     ⎛     3            ⎞
 lim ⎝- sin (x) + sin(x)⎠
x─→-∞                    
<-2, 2>

(50)
d ⎛     3            ⎞
──⎝- cos (x) + cos(x)⎠
dx                    
            2            
3⋅sin(x)⋅cos (x) - sin(x)
⎡          ⎛  _________⎞        ⎛  _________⎞         ⎛  ________⎞        ⎛  _
⎣0, -2⋅atan⎝╲╱ -√3 + 2 ⎠, 2⋅atan⎝╲╱ -√3 + 2 ⎠, -2⋅atan⎝╲╱ √3 + 2 ⎠, 2⋅atan⎝╲╱ 

_______⎞⎤
√3 + 2 ⎠⎦
    ⎛     3            ⎞
lim ⎝- cos (x) + cos(x)⎠
x─→∞                    
<-2, 2>
     ⎛     3            ⎞
 lim ⎝- cos (x) + cos(x)⎠
x─→-∞                    
<-2, 2>

$

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