数学 - 線型代数 - ベクトル空間 - 部分空間(部分空間の定義、R^n次元の部分空間R^{n-1}、実係数のxの多項式全体が作るベクトル空間R[x]の部分空間、次数)

学習環境

線型代数入門(松坂和夫(著)、岩波書店)の第2章(ベクトル空間)、5(部分空間)、問1、2.を取り組んでみる。

1. $0 \in W$
2. $\begin{array}{l} u, v \in W \\ u = (u_{1}, \dots, u_{n - 1}, 0) \\ v = (v_{1}, \dots, v_{n - 1}, 0) \\ u + v \\ = (u_{1} + v_{1}, \dots, u_{n - 1} + v_{n - 1}, 0) \\ u + v \in W \end{array}$
3. $\begin{array}{l} u \in W \\ u = (u_{1}, \dots, u_{n - 1}, 0) \\ c \in ℝ \\ c u = (c u_{1}, \dots, c u_{n - 1}, 0) \\ c u \in W \end{array}$
よってWは $ℝ^{n}$ の部分空間である。
1. $0 x^{0} + 0 x^{1} + \dots + 0 x^{m} \in P_{m}$
2. $\begin{array}{l} u, v \in P_{m} \\ u = u_{0} + u_{1} x + \dots + u_{m} x^{m} \\ v = v_{0} + v_{1} x + \dots + v_{m} x^{m} \\ u + v \\ = (u_{0} + v_{0}) + (u_{1} + v_{1}) x + \dots + (u_{m} + v_{m}) x^{m} \\ u + v \in P_{m} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} u \in P_{m} \\ u = u_{0} + u_{1} x + \dots + u_{m} x^{m} \\ c \in ℝ \\ c u \\ = c u_{0} + c u_{1} x + \dots + c u_{m} x^{m} \\ c u \in P_{m} \end{array}$
よって $P_{m}$ は $ℝ [x]$ の部分空間である。

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