数学 - 集合と位相 - 集合と写像 - 写像に関する諸概念(単射の場合、像、包含関係、等号、差集合)

集合・位相入門

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  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題5を取り組んでみる。

5. 1. 
      

      yをBの任意の元とする。

      $\begin{array}{l}y\in f\left(A\right)-f\left(P\right)\\ \iff y\in f\left(A\right)\wedge y\notin f\left(P\right)\\ \iff \exists x\in A\left[f\left(x\right)=y\wedge y\notin f\left(P\right)\right]\\ \Rightarrow \exists x\in A\left[f\left(x\right)=y\wedge x\notin P\right]\\ \iff \exists x\in A-P\left[f\left(x\right)=y\right]\\ \iff y\in f\left(A-P\right)\\ \\ f\left(A\right)-f\left(P\right)\subset f\left(A-P\right)\end{array}$

      よって、次の包含関係が成り立つ。

      $f\left(A\right)-f\left(P\right)\subset f\left(A-P\right)$
   2. 
      

      集合をそれぞれA = {0, 1}、B = {0, 1}、P = {0}とし、AからBへの写像をf(0) = 0, f(1) = 0とする。

      この時、f(A - P) = f({0, 1} - {0}) = f({1}) = {0}。

      また、f(A) - f(P) = f({0, 1}) - f({0}) = {0} - {0} = φ。

      よって等号は成り立たない。

   3. 
      

      写像fが単射の場合。

      $\begin{array}{l}\exists x\in A\left[f\left(x\right)=y\wedge x\notin P\right]\\ \Rightarrow \exists x\in A\left[f\left(x\right)=y\wedge f\left(x\right)\notin f\left(P\right)\right]\end{array}$

      よって、等号が成り立つ。