2017年10月6日金曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、6(数ベクトルの内積、行列と列ベクトルの積)、問題3、4.を取り組んでみる。


  1. 線型写像Lを表すただ1つの 1 × n 行列をAとする。

    その1行目の行ベクトルをaとすれば、問題の命題が成り立つ。


  2. 標準基底の原点のまわりの角θの回転について考える。

    φ( e 1 )=( cosθ sinθ ) φ( e 2 )=( sinθ cosθ )

    以上のことと、回転は線型であることを利用して回転の行列を求める。

    φ( e 1 )=( cosθ sinθ ) φ( e 2 )=( sinθ cosθ ) φ( ( x y ) ) =φ( ( x 0 )+( 0 y ) ) =φ( x( 1 0 )+y( 0 1 ) ) =φ( x e 1 +y e 2 ) =xφ( e 1 )+yφ( e 2 ) =( xcosθ xsinθ )+( ysinθ ysinθ ) =( xcosθysinθ xsinθ+ycosθ ) =( cosθ sinθ sinθ cosθ )( x y )

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, sin, cos, pi
import random

print('3.')
θ = symbols('θ')
A = Matrix([[cos(θ), -sin(θ)],
            [sin(θ), cos(θ)]])

pprint(A)
pprint(A * Matrix([1, 0]))
pprint(A * Matrix([0, 1]))

for _ in range(5):
    x = random.randrange(10)
    y = random.randrange(10)
    X = Matrix([x, y])
    pprint(X)
    for θ0 in [pi / 4, pi / 2, pi]:
        pprint(θ0)
        pprint((A * X).subs({θ: θ0}))
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
⎡cos(θ)  -sin(θ)⎤
⎢               ⎥
⎣sin(θ)  cos(θ) ⎦
⎡cos(θ)⎤
⎢      ⎥
⎣sin(θ)⎦
⎡-sin(θ)⎤
⎢       ⎥
⎣cos(θ) ⎦
⎡1⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
π
─
4
⎡√2⎤
⎢──⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎢√2⎥
⎢──⎥
⎣2 ⎦

π
─
2
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣1⎦

π
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎣0 ⎦


⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦
π
─
4
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦

π
─
2
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦

π
⎡0⎤
⎢ ⎥
⎣0⎦


⎡3⎤
⎢ ⎥
⎣2⎦
π
─
4
⎡ √2 ⎤
⎢ ── ⎥
⎢ 2  ⎥
⎢    ⎥
⎢5⋅√2⎥
⎢────⎥
⎣ 2  ⎦

π
─
2
⎡-2⎤
⎢  ⎥
⎣3 ⎦

π
⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎣-2⎦


⎡9⎤
⎢ ⎥
⎣5⎦
π
─
4
⎡2⋅√2⎤
⎢    ⎥
⎣7⋅√2⎦

π
─
2
⎡-5⎤
⎢  ⎥
⎣9 ⎦

π
⎡-9⎤
⎢  ⎥
⎣-5⎦


⎡8⎤
⎢ ⎥
⎣1⎦
π
─
4
⎡7⋅√2⎤
⎢────⎥
⎢ 2  ⎥
⎢    ⎥
⎢9⋅√2⎥
⎢────⎥
⎣ 2  ⎦

π
─
2
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎣8 ⎦

π
⎡-8⎤
⎢  ⎥
⎣-1⎦


$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample3.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [[0, 0, 8, 1, 'red'],
                 [0, 0, 7 * Math.sqrt(2) / 2, 9 * Math.sqrt(2) / 2, 'green'],
                 [0, 0, -1, 8, 'blue'],
                 [0, 0, -8, -1, 'orange']],
        fns = [],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });
    
    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();







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