数学 - Python - 線形代数学 - R^n におけるベクトル – 直線と平面(3 - 空間、直線と平面の交点、点と平面の間の距離、法線ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の1章(R^n におけるベクトル)、5(直線と平面)、練習問題19、20.を取り組んでみる。

19. 
    

    Pを通りAの向きを持つ直線のパラメーター方程式をX = P + tAとおく。

    $\begin{array}{l}X=P+tA\\ X=\left(1,3,5\right)+t\left(-2,1,1\right)\\ =\left(1-2t,3+t,5+t\right)\\ \left(2,3,-1\right)·X=1\\ \left(2,3,-1\right)·\left(1-2t,3+t,5+t\right)=1\\ 2-4t+9+3t-5-t=1\\ 5=2t\\ t=\frac{5}{2}\end{array}$

    求める交点。

    $\begin{array}{l}X=\left(1-5,3+\frac{5}{2},5+\frac{5}{2}\right)\\ =\left(-4,\frac{11}{2},\frac{15}{2}\right)\end{array}$
20. 
    

    平面3x + y - 5z = 2 の1つの法線ベクトルを N = (3, 1, -5)とおく。

    点(1, 1, 2)を通り、向きNの直線のパラメーター方程式を X = (1, 1, 2) + t(3, 1, -5)とおく。

    上記の平面と直線の交点を求める。

    $\begin{array}{l}X=\left(1+3t,1+t,2-5t\right)\\ \left(3,1,-5\right)·X=2\\ 3+9t+1+t-10+25t=2\\ 35t=8\\ t=\frac{8}{35}\\ X=\left(1+\frac{24}{35},1+\frac{8}{35},2-\frac{5}{35}\right)\\ =\left(\frac{59}{35},\frac{43}{35},\frac{65}{35}\right)\end{array}$

    求める距離。

    $\begin{array}{l}\left|\left(\frac{59}{35},\frac{43}{35},\frac{30}{35}\right)-\left(1,1,2\right)\right|\\ =\left|\left(\frac{24}{35},\frac{8}{35},\frac{-40}{35}\right)\right|\\ =\sqrt{\frac{{24}^2+8^2+{40}^2}{{35}^2}}\\ =\frac{\sqrt{576+64+1600}}{35}\\ =\frac{\sqrt{2240}}{35}\\ =\frac{\sqrt{2^6·5·7}}{35}\\ =\frac{8\sqrt{35}}{35}\\ =\frac{8}{\sqrt{35}}\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve

print('19.')
X = Matrix(symbols('x y z'))
P = Matrix([1, 3, 5])
A = Matrix([-2, 1, 1])
t = symbols('t')

eq1 = P + t * A
eq2 = Matrix([2, 3, -1]).dot(X) - 1

eq3 = eq2.subs({k: v for k, v in zip(X, eq1)})

for t0 in [eq1.T, eq2, eq3]:
    pprint(t0)
    print()

t0 = solve(eq3, t)[0]
pprint(t0)
X0 = eq1.subs({t: t0})
pprint(X0.T)

print('20.')
N = Matrix([3, 1, -5])
eq1 = Matrix([1, 1, 2]) + t * N
eq2 = N.dot(X) - 2
eq3 = eq2.subs({k: v for k, v in zip(X, eq1)})

for t0 in [eq1.T, eq2, eq3]:
    pprint(t0)
    print()

t0 = solve(eq3, t)[0]
pprint(t0)
X0 = eq1.subs({t: t0})
pprint(X0.T)
pprint((X0 - Matrix([1, 1, 2])).norm())

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample19.py
19.
[-2⋅t + 1  t + 3  t + 5]

2⋅x + 3⋅y - z - 1

-2⋅t + 5

5/2
[-4  11/2  15/2]
20.
[3⋅t + 1  t + 1  -5⋅t + 2]

3⋅x + y - 5⋅z - 2

35⋅t - 8

8/35
⎡59  43     ⎤
⎢──  ──  6/7⎥
⎣35  35     ⎦
8⋅√35
─────
  35 
$