数学 - 代数学 - 整数 - 最大公約数(二重帰納法、互いに素、積)

代数系入門

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、3(最大公約数)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   定理4の 系より

   $\left(a_i,b_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->b_{n-1}\right)=1\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\left(a_1,b_n\right)=1\left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->m\right)$

   ならば、

   $\left(a_i,b_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->b_n\right)=1$

   あって帰納法により、すべての正の整数 n に対して成り立つ。

   同じく定理4の系より、

   $\left(a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{m-1},b_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->b_n\right)=1\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\left(a_m,b_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->b_n\right)=1$

   ならば

   $\left(a_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{m_1}{b}_1\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->b_n\right)=1$

   よって帰納法により、すべての正の整数 mに対して成り立つ。

   ゆえに、任意の正の整数 m、 n に対して成り立つ。（証明終）