数学 - Python - 線型代数 - 線型写像 - 連立1次方程式(I)(基本解、一般解、行列の行基本変形、4×5行列)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、12(連立1次方程式(I))、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   
   $(\begin{array}{ccccc}2& 3& 2& 3& 0\\ 4& 9& 0& 5& -2\\ -1& -3& 1& -1& 1\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})$

   $(\begin{array}{ccccc}0& 3& -4& -1& -2\\ 0& 9& -12& -3& -6\\ 0& -3& 4& 1& 2\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})$

   $(\begin{array}{ccccc}0& 3& -4& -1& -2\\ 0& 3& -4& -1& -2\\ 0& -3& 4& 1& 2\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})$

   $(\begin{array}{ccccc}0& 3& -4& -1& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})$

   $(\begin{array}{ccccc}0& 1& -\frac{4}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 3& 2& 1\end{array})$

   よって基本解は、

   $\begin{array}{}{u}_1=\left(-3,\frac{4}{3},1,0,0\right)\\ u_2=(-2,\frac{1}{3},0,1,0)\\ u_3=\left(-1,\frac{2}{3},0,0,1\right)\end{array}$

   ゆえに一般解は、

   $\begin{array}{}{x}_1=-3\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}-2\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ x_2=\frac{4}{3}\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}+\frac{1}{3}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}+\frac{2}{3}\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\\ x_3=\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\\ x_4=\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\\ x_5=\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}\end{array}$

   $\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->},\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->},\mathrm{\gamma \; <!--\; greek\; small\; letter\; gamma\; -->}$

   は任意のスカラー。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, Matrix

print('2.')
xs = symbols('x1, x2, x3, x4, x5')

M = Matrix([[2, 3, 2, 3, 0],
            [4, 9, 0, 5, -2],
            [-1, -3, 1, -1, 1],
            [1, 0, 3, 2, 1]])
x = Matrix(xs)
for t in [M, solve(M * x, xs)]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
2.
⎡2   3   2  3   0 ⎤
⎢                 ⎥
⎢4   9   0  5   -2⎥
⎢                 ⎥
⎢-1  -3  1  -1  1 ⎥
⎢                 ⎥
⎣1   0   3  2   1 ⎦

⎧                           4⋅x₃   x₄   2⋅x₅⎫
⎨x₁: -3⋅x₃ - 2⋅x₄ - x₅, x₂: ──── + ── + ────⎬
⎩                            3     3     3  ⎭

$