2017年11月15日水曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、5(和と直和)、練習問題3.を取り組んでみる。


  1. A = x , y , B = z , v , A 0 , B 0

    とする。

    c 1 A + c 2 B = 0

    を考える。

    c 2 0

    とすると、

    B = - c 1 c 2 A

    となり、問題の仮定と矛盾する。

    よって、

    c 2 = 0

    このとき、

    c 1 A = 0

    となり、

    A 0

    なので、

    c 1 = 0

    よって、 A、B は1次独立である。
    ゆえに、

    A , B

    R 2

    の基底である。

    また、 A、 B が基底であることから、

    R 2

    の任意元は

    x 1 A + x 2 A

    と生成元の和として表すことができる。
    そして、

    c A B

    であることから、 A によって生成される部分空間とB によって生成される部分空間は共通部分をもたない。

    以上より、直和である。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import random

print('3.')
c1, c2 = symbols('c1, c2')
v = Matrix([1, 2])
w = Matrix([2, 5])
eq = c1 * v + c2 * w
for t in [eq, solve(eq, (c1, c2))]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
⎡ c₁ + 2⋅c₂ ⎤
⎢           ⎥
⎣2⋅c₁ + 5⋅c₂⎦

{c₁: 0, c₂: 0}

$

0 コメント:

コメントを投稿