数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 可算集合、非可算集合(代数的数全体の集合の濃度、有理整数を係数とする多項式)

集合・位相入門

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集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、2(可算集合、非可算集合)、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   

   問題にあるヒントと、2以上の自然数の集合の濃度から、 求める代数的数全体の濃度は

   $\begin{array}{}m\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\\ m·\; <!--\; middle\; dot\; -->\mathrm{card}\left(\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}-\left\{0,1\right\}\right)\\ =m\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\\ =\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\end{array}$

   となる。
   よって可算集合である。

   （証明終）