数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 可算集合、非可算集合(無理数の濃度)

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、2(可算集合、非可算集合)、問題7.を取り組んでみる。

7. 
   

   無理数全体の集合を X とおく。

   実数は無理数と有理数の直和である。

   $\left(X\cup \; <!--\; union\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}=\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\right)\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->\left(X\cap \; <!--\; intersection\; -->\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}=\mathrm{\varphi \; <!--\; greek\; phi\; symbol\; -->}\right)$

   また、実致は無限集合で、有理数は実数の高々可算な部分集合なので、定理6より、

   $\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}-\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\sim \; <!--\; tilde\; operator\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{}\mathrm{card}X\\ =\mathrm{card}\left(\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}-\text{ℚ <!-- double-struck capital Q -->}\right)\\ =\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\end{array}$