数学 - 集合と位相 - 集合と濃度 - 可算集合、非可算集合(可算集合の部分集合族、直和)

集合・位相入門

学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

集合・位相入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(集合と濃度)、2(可算集合、非可算集合)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   問題の仮定より集合 A は可算なので、

   $\mathrm{card}A=\mathrm{card}\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}=\mathrm{card}\left(\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)$

   よって、 全射な写像

   $f:\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->A$

   が存在する。

   この写像により、

   $A_n=f\left(\left\{n\right\}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}\right)$

   と定めれば、 問題の3つの条件を満たす。

   （証明終）