数学 - 解析学 - 距離空間の位相 - n次元実数空間における曲線(2回微分、速度ベクトル、加速度ベクトル、一定、直交)

解析入門〈3〉

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解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の位相)、12.4(n次元実数空間における曲線)、問題2.を取り組んでみる。

2. 1. 
      

      一定な速さを a とおくと、

      $\left|f\text{'}\left(t\right)\right|=a$

      両辺を2乗。

      $\begin{array}{}{\left|f\text{'}\left(t\right)\right|}^2=a^2\\ f\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)=a^2\end{array}$

      この両辺を微分すると、

      $\begin{array}{}f\text{'}\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)+f\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\text{'}\left(t\right)=0\\ 2f\text{'}\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)=0\end{array}$

      よって、加速度ベクトルと速度ベクトルに直交する。

   2. 
      
      $\begin{array}{}v\left(t\right)=\left|f\text{'}\left(t\right)\right|\\ v{\left(t\right)}^2={\left|f\text{'}\left(t\right)\right|}^2\\ =f\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)\end{array}$

      これを微分すると、

      $\begin{array}{}\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(v{\left(t\right)}^2\right)=f\text{'}\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)+f\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\text{'}\left(t\right)\\ =2f\text{'}\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\text{'}\left(t\right)\end{array}$

      問題の仮定の、加速度ベクトルがいつも速度ベクトルに直交するということから、

      $f\text{'}\text{'}\left(t\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->f\left(t\right)=0$

      よって、

      $\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(v{\left(t\right)}^2\right)=0$

      となるので

      $v{\left(t\right)}^2$

      は定数、 すなわち

      $v\left(t\right)$

      は定数なので、速さは一定である。