数学 - Python - オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications) - ベクトルと行列(Vector & Matrix) - 行列の n 乘を求める(固有値と固有ベクトル)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第III部(オイラーの公式とその応用(Euler's Formula & Its Applications))、第9章(ベクトルと行列(Vector & Matrix))、9.6(行列の n 乘を求める)、固有値と固有ベクトル、問題6.を取り組んでみる。

6. 
   
   $\begin{array}{}\det \left(A-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}E\right)=0\\ \det \left((\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array})\right)\end{array}-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array})=0\det (\begin{array}{cc}a-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}& 0\\ 0& b-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\end{array})=0\\ \left(a-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)\left(b-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)=0\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}=a,\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}=b$

   よって

   $\begin{array}{}{A}^n=\frac{b^n-a^n}{b-a}(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array})\end{array}+\frac{a^{n}b-a{b}^n}{b-a}E=\frac{1}{b-a}(\begin{array}{cc}\left(b^n-a^n\right)a+a^{n}b-a{b}^n& 0\\ 0& b\left(b^n-a^n\right)+a^{n}b-a{b}^n\end{array})\\ =\frac{1}{b-a}(\begin{array}{cc}-a^{n+1}+a^{n}b& 0\\ 0& b^{n+1}-a{b}^n\end{array})\\ =\frac{1}{b-a}(\begin{array}{cc}{a}^n\left(b-a\right)& 0\\ 0& b^n\left(b-a\right)\end{array})\\ =(\begin{array}{cc}{a}^n& 0\\ 0& b^n\end{array})$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import symbols, pprint, Matrix, MatrixSymbol, sqrt, solve

a, b = symbols('a, b')
n = symbols('n', integer=True)
A = Matrix([[a, 0],
            [0, b]])
for t in [A, A ** n]:
    pprint(t)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample6.py
⎡a  0⎤
⎢    ⎥
⎣0  b⎦

⎡ n    ⎤
⎢a   0 ⎥
⎢      ⎥
⎢     n⎥
⎣0   b ⎦

$