数学 - Python - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(線形性、指数関数、加法(和)、スカラー倍)

ラング線形代数学(上)
原著

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題8.を取り組んでみる。

8. 4. 
      

      線形ではない。

      確認。

      $\begin{array}{}f\left(s+t\right)\\ =\left(e^{\left(s+t\right)},s+t\right)\\ f\left(s\right)+f\left(t\right)\\ =\left(e^s,s\right)+\left(e^t,t\right)\\ =\left(e^s+e^t,s+t\right)\end{array}$

      よって、

      $f\left(s+t\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->f\left(s\right)+f\left(t\right)$
   7. 
      

      線形ではない。

      $\begin{array}{}F\left(2\left(1,0,0,0\right)\right)\\ =F\left(2,0,0,0\right)\\ =2+2\\ =4\\ 2F\left(1,0,0,0\right)\\ =F(\left(t2\right)\\ =6\end{array}$
   8. 
      

      線形である。

      $\begin{array}{}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(2\left(x_1+x_2\right),3\left(y_1+y_2\right)\right)\\ =\left(2x_1,3y_1\right)+\left(2x_2,3y_2\right)\\ =F\left(x,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\end{array}$
      $\begin{array}{}F\left(c\left(x,y\right)\right)\\ =F\left(cx,cy\right)\\ =\left(2cx,3cy\right)\\ =c\left(2x,3y\right)\\ =cF\left(x,y\right)\end{array}$
   9. 
      

      線形ではない。

      $\begin{array}{}F\left(\left(x_1,y_1\right)+\left(x_2,y_2\right)\right)\\ =F\left(x_1+x_2,y_1+y_2\right)\\ =\left(\left(x_1+x_2\right)\left(y_1+y_2\right),y_1+y_2\right)\\ F\left(x_1,y_1\right)+F\left(x_2,y_2\right)\\ =\left(x_1{y}_1,y_1\right)+\left(x_2{y}_2,y_2\right)\\ =\left(x_1{y}_1{x}_2{y}_2,y_1+y_2\right)\end{array}$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, Matrix

s, t = symbols('s, t')
f = Matrix([exp(t), t])
l = f.subs({t: s + t})
r = f.subs({t: s}) + f.subs({t: t})

for o in [f, l, r, l == r]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
⎡ t⎤
⎢ℯ ⎥
⎢  ⎥
⎣t ⎦

⎡ s + t⎤
⎢ℯ     ⎥
⎢      ⎥
⎣s + t ⎦

⎡ s    t⎤
⎢ℯ  + ℯ ⎥
⎢       ⎥
⎣ s + t ⎦

False

$