数学 - Python - 線型代数 - 行列式 - 行列式の計算(上三角行列、下三角行列、対角成分)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、6(行列式の計算)、問題2.を取り組んでみる。

2. 
   

   上三角行列について。

   $\begin{array}{}\det A_n\\ =a_{11}\det A_{n-1}\\ =a_{11}{a}_{22}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{nn}\end{array}$

   よって帰納法より成り立つ。

   下三角行列について。

   $\begin{array}{}\det A_n\\ =a_{11}\det A_{n-1}\\ =a_{11}{a}_{22}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_{nn}\end{array}$

   よって帰納法により成り立つ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

n = 10
A1 = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') if i <= j else 0 for j in range(n)]
             for i in range(n)])
A2 = Matrix([[symbols(f'a{i + 1}{j + 1}') if i >= j else 0 for j in range(n)]
             for i in range(n)])

for A in [A1, A2]:
    for t in [A, A.det()]:
        pprint(t)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample2.py
⎡a₁₁  a₁₂  a₁₃  a₁₄  a₁₅  a₁₆  a₁₇  a₁₈  a₁₉  a₁₁₀ ⎤
⎢                                                  ⎥
⎢ 0   a₂₂  a₂₃  a₂₄  a₂₅  a₂₆  a₂₇  a₂₈  a₂₉  a₂₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0   a₃₃  a₃₄  a₃₅  a₃₆  a₃₇  a₃₈  a₃₉  a₃₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0   a₄₄  a₄₅  a₄₆  a₄₇  a₄₈  a₄₉  a₄₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0   a₅₅  a₅₆  a₅₇  a₅₈  a₅₉  a₅₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0   a₆₆  a₆₇  a₆₈  a₆₉  a₆₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0   a₇₇  a₇₈  a₇₉  a₇₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0    0   a₈₈  a₈₉  a₈₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎢ 0    0    0    0    0    0    0    0   a₉₉  a₉₁₀ ⎥
⎢                                                  ⎥
⎣ 0    0    0    0    0    0    0    0    0   a₁₀₁₀⎦

a₁₀₁₀⋅a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆⋅a₇₇⋅a₈₈⋅a₉₉


⎡a₁₁    0     0     0     0     0     0     0     0      0  ⎤
⎢                                                           ⎥
⎢a₂₁   a₂₂    0     0     0     0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₃₁   a₃₂   a₃₃    0     0     0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₄₁   a₄₂   a₄₃   a₄₄    0     0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₅₁   a₅₂   a₅₃   a₅₄   a₅₅    0     0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₆₁   a₆₂   a₆₃   a₆₄   a₆₅   a₆₆    0     0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₇₁   a₇₂   a₇₃   a₇₄   a₇₅   a₇₆   a₇₇    0     0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₈₁   a₈₂   a₈₃   a₈₄   a₈₅   a₈₆   a₈₇   a₈₈    0      0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎢a₉₁   a₉₂   a₉₃   a₉₄   a₉₅   a₉₆   a₉₇   a₉₈   a₉₉     0  ⎥
⎢                                                           ⎥
⎣a₁₀₁  a₁₀₂  a₁₀₃  a₁₀₄  a₁₀₅  a₁₀₆  a₁₀₇  a₁₀₈  a₁₀₉  a₁₀₁₀⎦

a₁₀₁₀⋅a₁₁⋅a₂₂⋅a₃₃⋅a₄₄⋅a₅₅⋅a₆₆⋅a₇₇⋅a₈₈⋅a₉₉


$