数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像の核と像(基底、1次元、2次元、像、1次独立、零ベクトル)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、3(線形写像の核と像)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $F\left(x_{1}A+x_{2}B\right)=x_{1}F\left(A\right)+x_{2}F\left(B\right)$
   $F\left(A\right),F\left(B\right)$

   が1次独立ではないとする。

   $\begin{array}{}a\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ F\left(A\right)=aF\left(B\right)\end{array}$

   よって、

   $F\left(A\right)\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   ならば、 F の像は1次元である。

   また、

   $F\left(A\right)=0$

   ならば、

   $F\left(B\right)=0$

   となり、 F の像は

   $\left\{0\right\}$

   である。