数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 核と像の次元(同次元、全射、単射、基底、同形写像)

ラング線形代数学(上)
原著

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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、4(核と像の次元)、練習問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\left\{v_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,v_n\right\}$

   を V の基底とする。

   u、 w を W の任意の元とする。

   F は全射なので、

   $\begin{array}{}F\left(x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\right)=u\\ F\left(y_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_n{v}_n\right)=w\end{array}$

   とおく。

   $u=w$

   ならば

   $\begin{array}{}F\left(x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n\right)=F\left(y_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_n{v}_n\right)\\ x_{1}F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_{n}F\left(v_n\right)=y_{1}F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_{n}F\left(v_n\right)\\ \left(x_1-y_1\right)F\left(v_1\right)+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\left(x_n-y_n\right)F\left(v_h\right)=0\end{array}$

   また問題の仮定より、

   $\dim V=\dim W$

   なので、

   $F\left(v_1\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,F\left(v_n\right)$

   は1次独立である。

   よって、

   $x_1=y_1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,x_n=y_n$

   ゆえに、

   $x_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+x_n{v}_n=y_1{v}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+y_n{v}_n$

   以上より、 F は単射である。

   よって F は同形写像である。

   （証明終）