2018年4月23日月曜日

学習環境

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)、24.2(可算集合)、べき集合の濃度、問4.を取り組んでみる。


  1. f : X X '

    を全単射とする。

    べき集合からべき集合への写像を、

    g : P X P X ' g A = f A

    と定める。

    A、B を X の任意の部分集合とする。

    f A = f B

    が成り立つ場合を考える。 a を A の任意の元とする。

    f a f A = f B

    よって、ある B の元 b が存在して、

    f a = f b

    が成り立つ。

    f は単射なので、

    a = b B

    よって、 a は B の元である。

    同様に、 B の任意の元 b は A の元である。

    よって、

    A B B A A = B

    ゆえに、 g は単射である。

    C を

    C P X ' C X '

    とする。

    f は全射なので、 C の任意の元 c に対して、

    f a = c

    となる X の元 a が存在する。

    ゆえに、

    A = a X | f a C

    とおけば、

    g A = C

    となる。

    ゆえに、 g は全射である。

    よって、 g は全単射、すなわち

    X X ' P X P X '

    が成り立つ。

    (証明終)

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