数学 - 無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード – 非可算集合、連続の濃度 - 連続の濃度(実数、部分集合、開区間、ベルンシュタインの定理)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)、24.4(非可算集合、連続の濃度)、連続の濃度、問6.を取り組んでみる。

6. 
   

   集合 M のある開区間を、

   $\left(a,b\right)\subset \; <!--\; subset\; of\; -->M$

   とする。

   このとき、

   $\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}=\mathrm{card}\left(a,b\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}M$

   また、 M は実数の部分集合なので、

   $\mathrm{card}M\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   よって、

   $\mathrm{card}M=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   （証明終）