数学 - 無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード – 非可算集合、連続の濃度 - 連続の濃度(奇数全体の集合、偶数全体の集合、べき集合、直積、平面と直線)

数学読本〈6〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)、24.4(非可算集合、連続の濃度)、連続の濃度、問9.を取り組んでみる。

9. 
   

   任意の

   $A,B\in \; <!--\; element\; of\; -->P\left({\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}\right)$

   に対して、

   $\begin{array}{}f\left(A\right)=\left(A_1,A_2\right)\\ f\left(B\right)=\left(B_1,B_2\right)\\ f\left(A\right)=f\left(B\right)\\ \left(A_1,A_2\right)=\left(B_1,B_2\right)\end{array}$

   の場合、

   $\begin{array}{}{A}_1=B_1\\ A_2=B_2\\ A=A_1\cup \; <!--\; union\; -->A_2\\ B=B_1\cup \; <!--\; union\; -->B_2\\ A=B\end{array}$

   よって、単射である。

   また、任意の

   $A=\left(A_1,A_2\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->P\left(E_1\right)\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->P\left(E_2\right)$

   に対して、

   $\begin{array}{}{A}_1\cup \; <!--\; union\; -->A_2\in \; <!--\; element\; of\; -->P\left({\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}\right)\\ f\left(A_1\cup \; <!--\; union\; -->A_2\right)=A\end{array}$

   よって f は全射である。

   ゆえに、 f は全単射である。

   （証明終）

   また、

   $\mathrm{card}P\left(E_1\right)=\mathrm{card}P\left(E_2\right)=\mathrm{card}P\left({\text{ℤ <!-- double-struck capital Z -->}}^{+}\right)=\mathrm{card}\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   なので、

   $\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\sim \; <!--\; tilde\; operator\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\text{ℝ <!-- double-struck capital R -->}$

   が成り立つ。