数学 - 解析学の基礎へのアプローチ - εとδ – 数列の極限 - 数列の極限(差の極限、比較)

数学読本〈6〉

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数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュード/εとδ/落ち穂拾い など(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)、25.1(数列の極限)、数列の極限、問1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\begin{array}{}\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(b_n-a_n\right)\\ =\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{b}_n-\underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{a}_n\\ =\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\end{array}$

   となる。

   $\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}<0$

   と仮定する。

   ある 正の整数に対して

   $\left|\left(b_N-a_N\right)-\left(\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\right|<-\left(\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)$

   が成り立つ。

   よって、

   $\begin{array}{}\left(b_N-a_N\right)-\left(\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)<-\left(\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\\ b_N-a_N<0\\ a_N>b_N\end{array}$

   これは、問題の仮定と矛盾する。

   ゆえに、

   $\begin{array}{}\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->0\\ \mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\mathrm{\beta \; <!--\; greek\; small\; letter\; beta\; -->}\end{array}$

   である。

   （証明終）