数学 - Python - 解析学 - 線形写像 - 線形写像と行列(転置行列、積)

解析入門〈3〉

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ)
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第15章(線形写像)、15.1(線形写像と行列)、問題5.を取り組んでみる。

5. 
   

   B を m × n 行列、 A を n × l 行列とする。

   $BA=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{ik}{a}_{kj}\right)$

   よって、

   ${\left(BA\right)}^T=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{jk}{a}_{ki}\right)$

   また、

   $\begin{array}{}{A}^T=\left(a_{ji}\right)\\ B^T=\left(b_{ji}\right)\\ A^T{B}^T=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{a}_{ki}{b}_{jk}\right)=\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{b}_{jk}{a}_{ki}\right)\end{array}$

   よって、

   ${\left(BA\right)}^T=A^T{B}^T$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, MatrixSymbol

m, n, l = symbols('m, n, l', integer=True, positive=True)
A = MatrixSymbol('A', n, l)
B = MatrixSymbol('B', m, n)

print((B * A).T == A.T * B.T)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample5.py
True
$