数学 – 数学はここから始まる - 数 – 実数の演算と大小 – 数の集合はどの演算について閉じているか？(有理数と無理数の積、背理法)

数学読本〈1〉

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(数学はここから始まる-数)、1.2(実数の演算と大小)、数の集合はどの演算について閉じているか？の問4.を取り組んでみる。

4. 
   
   $a=\frac{m}{n}$

   積 ab を有理数と仮定する

   $\begin{array}{}ab=\frac{k}{l}\\ \frac{m}{n}b=\frac{k}{l}\\ b=\frac{\frac{k}{l}}{\frac{m}{n}}\end{array}$

   有理数は除法について閉じているので、 bは有理数となる。

   これは、 b が無理枚であるということて矛盾する。

   ゆえに、 積 ab は無理数である。

   （証明終）