2018年8月10日金曜日

学習環境

ラング線形代数学(下)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題3-(g).を取り組んでみる。



    1. 特性多項式。

      det t + 1 - 2 - 2 - 2 t - 2 - 2 3 6 t + 6 = t 2 - t - 2 t + 6 + 12 + 24 + 12 t + 1 - 4 t + 6 + 6 t - 2 = t 3 + 5 t 2 - 8 t + 24 + 12 t + 12 - 4 t - 24 + 6 t - 12 = t 3 + 5 t 2 + 6 t

      固有値。

      t t 2 + 5 t + 6 = 0 t t + 2 t + 3 = 0 λ = - 3 , - 2 , 0

      固有ベクトル。

      - 2 - 2 - 2 - 2 - 5 - 2 3 6 3 x y z = 0 0 0 x + y + z = 0 2 x + 5 y + 2 y = 0 x + 2 y + z = 0 x = 1 , y = 0 , z = - 1 - 1 - 2 - 2 - 2 - 4 - 2 3 6 4 x y z = 0 0 0 x + 2 y + 2 z = 0 x + 2 y + z = 0 3 x + 6 y + 4 z = 0 x = 2 , y = - 1 , z = 0 1 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 3 6 6 x y z = 0 0 0 x - 2 y - 2 z = 0 x + y + z = 0 x + 2 y + 2 z = 0 x = 0 , y = 1 , z = - 1 1 , 0 , - 1 , 2 , - 1 , 0 , 0 , 1 , - 1

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, solve

print('3-(f).')

t, x, y, z = symbols('t, x, y, z')

A = Matrix([[-1, 2, 2],
            [2, 2, 2],
            [-3, -6, -6]])
B = Matrix([[t, 0, 0],
            [0, t, 0],
            [0, 0, t]])
C = B - A
D = C.det()
ts = solve(D, t)
X = Matrix([[x],
            [y],
            [z]])
for s in [A, B, C, D, ts]:
    pprint(s)
    print()

for t0 in ts:
    E = C.subs({t: t0}) * X
    a, b, c = E
    pprint(solve((a, b, c), dict=True))

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample9.py
3-(f).
⎡-1  2   2 ⎤
⎢          ⎥
⎢2   2   2 ⎥
⎢          ⎥
⎣-3  -6  -6⎦

⎡t  0  0⎤
⎢       ⎥
⎢0  t  0⎥
⎢       ⎥
⎣0  0  t⎦

⎡t + 1   -2     -2  ⎤
⎢                   ⎥
⎢ -2    t - 2   -2  ⎥
⎢                   ⎥
⎣  3      6    t + 6⎦

14⋅t + (t - 2)⋅(t + 1)⋅(t + 6) + 12

[-3, -2, 0]

[{x: -z, y: 0}]
[{x: -2⋅y, z: 0}]
[{x: 0, y: -z}]
$

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