2016年9月5日月曜日

学習環境/開発環境

数学読本〈3〉平面上のベクトル/複素数と複素平面/空間図形/2次曲線/数列 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第10章(新しい数とその表示 - 複素数と複素平面)、10.1(複素平面)、複素数の極形式、問7、8、9.を取り組んでみる。

問7.


  1. 2 ( cos 7π 4 +sin 7π 4 i )

  2. 2 ( cos 5π 4 +sin 5π 4 i )

  3. 2( cos π 3 +sin π 3 i )

  4. 2( cos 5π 6 +sin 5π 6 i )

  5. cos π 2 +sin π 2 i

  6. 2( cos 3π 2 +sin 3π 2 i )

  7. 3( cosπ+sinπ )

  8. cos 7π 4 +sin 7π 4 i

問8.

| i z ¯ |=| i || z ¯ |=| z | arg( i z ¯ )=arg( i )+arg( z ¯ ) = π 2 arg( z )

問9.


  1. | z+ 1 z ¯ |=| z z ¯ +1 z ¯ |= r 2 +1 r arg( z+ 1 z ¯ )=arg( z z ¯ +1 z ¯ ) =arg( z z ¯ +1 )arg( z ¯ ) =arg( r 2 +1 )+arg( z ) =θ

  2. | r+z |=| r+r( cosθ+isinθ ) | =r| 1+cosθ+isinθ | =r| 1+ cos 2 θ 2 sin 2 θ 2 +i2sin θ 2 cos θ 2 | =r| 1+ cos 2 θ 2 1+ cos 2 θ 2 +i2sin θ 2 cos θ 2 | =2r| cos 2 θ 2 +isin θ 2 cos θ 2 | =2rcos θ 2 | cos θ 2 +isin θ 2 | =2rcos θ 2 arg( r+z )= θ 2

  3. rz=rr( cosθ+isinθ ) =r( 1cosθisinθ ) =r( 1 cos 2 θ 2 + sin 2 θ 2 2isin θ 2 cos θ 2 ) =r( 11+ sin 2 θ 2 + sin 2 θ 2 2isin θ 2 cos θ 2 ) =2rsin θ 2 ( sin θ 2 icos θ 2 ) =2rsin θ 2 ( cos( π 2 θ 2 )isin( π 2 θ 2 ) ) =2rsin θ 2 ( cos( θ 2 π 2 )+isin( θ 2 π 2 ) ) | rz |=2rsin θ 2 arg( rz )= θ 2 π 2

  4. | rz r+z |= | rz | | r+z | = 2rsin θ 2 2rcos θ 2 =tan θ 2 arg( rz r+z )=arg( rz )arg( r+z ) = θ 2 π 2 θ 2 = π 2

number.js で確認。

JavaScript

コード(Emacs)

(function () {
    'use strict';
    var div_output = document.querySelector('#output0'),
        button_calc = document.querySelector('#calc0'),
        nl = '<br><br>',
        calc;

    calc = function () {
        var z = new Complex(Math.floor(Math.random() * 10),
                            Math.floor(Math.random() * 10)),
            r = z.magnitude(),
            theta = z.angle(),
            z0,
            output;

        output = 'z = <math>' + z + '</math>, r = ' + r + ', θ = ' + theta + nl;
        [z.add((1).div(z.conjugate())),
         r.add(z),
         r.sub(z),
         r.sub(z).div(r.add(z))].forEach(function (z0, i) {
             output +=
                 '(' + (i + 1) + ') r = ' + z0.magnitude() +
                 ', θ = ' + z0.angle() + nl;
         });
        div_output.innerHTML = output;
    };

    calc();

    button_calc.onclick = calc;
}());

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