数学 – 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(必要条件)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題9.を取り組んでみる。

問題9.

$\begin{array}{l}eが奇数の素因数\text{p}をもつと仮定。\\ e=kp\\ 2^e+1\\ =2^{kp}+1\\ ={\left(2^k\right)}^p+1\\ f\left(x\right)=x^p+1=A\left(x+1\right)\left(A\in \mathbb{Z}\right)\\ f\left(2^k\right)={\left(2^k\right)}^p+1=A\left(2^k+1\right)\\ 2^e+1=A\left(2^k+1\right)\\ 2^e+1=2^k+1\\ e=k\\ k=kp\\ 仮定と矛盾。\end{array}$