数学 – 代数学 - 整数 - 素数、素因数分解(大きい数字の約数)

代数系入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(整数)、5(素数、素因数分解)、問題10.を取り組んでみる。

問題10.

$\begin{array}{l}{5}^4·2^{28}+2^{32}\\ =\left(5^4+2^4\right)·2^{28}\\ =641·2^{28}\\ \\ 5^4·2^{28}-1\\ =5^4·{\left(2^7\right)}^4-1\\ ={\left(5·2^7\right)}^4-1\\ =\left(5·2^7+1\right)\left(5·2^7-1\right)\left({\left(5·2^7\right)}^2+1\right)\\ =641\left(5·2^7-1\right)\left({\left(5·2^7\right)}^2+1\right)\\ \\ 2^{32}+1\\ =641m-5^4·2^{28}+1\\ =641m-\left(641n+1\right)+1\\ =641\left(m-n\right)\\ \\ 641|2^{32}+1\end{array}$