数学 - 線形代数学 - 線形写像 – 線形写像(1次独立なベクトル、平行四辺形、幾何学)

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の4章(線形写像)、2(線形写像)、練習問題8、9.を取り組んでみる。

$\begin{array}{l} 0 \leq t_{1} \leq 1, 0 \leq t_{2} \leq 1 \\ F (t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2}) \\ = F (t_{1} v_{1}) + F (t_{2} v_{2}) \\ = t_{1} F (v_{1}) + t_{2} F (v_{2}) \end{array}$
$\begin{array}{l} 0 \leq t_{1} \leq 1, 0 \leq t_{2} \leq 1 \\ F (t_{1} E_{1}, t_{2} E_{2}) \\ = t_{1} F (E_{1}) + t_{2} F (E_{2}) \\ = t_{1} (1, 1) + t_{2} (- 1, 2) \\ x_{1} (1, 1) + x_{2} (- 1, 2) = 0 \\ x_{1} - x_{2} = 0 \\ x_{1} + 2 x_{2} = 0 \\ x_{1} = x_{2} \\ x_{1} + 2 x_{2} = 0 \\ x_{1} = 0 \\ x_{2} = 0 \end{array}$
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} 0 \leq t_{1} \leq 1, 0 \leq t_{2} \leq 1 \\ T (t_{1} (3, 0) + t_{2} (0, 1)) \\ = T (t_{1} 3 E_{1} + t_{2} E_{2}) \\ = t_{1} 3 T (E_{1}) + t_{2} T (E_{2}) \\ = t_{1} 3 A + t_{2} B \end{array} \\ x_{1} 3 A + x_{2} B = 0 \end{array}$
また、 $3 A$ 、 $B$ は1次独立。

$3 A$ 、 $B$ によって張られる平行四辺形。
$\begin{array}{l} 0 \leq t_{0} \leq 1, 0 \leq u_{0} \leq 1 \\ t_{0} = \frac{1}{5} t \\ u_{0} = \frac{1}{2} u \\ t = 5 t_{0} \\ 2 u_{0} = u \\ t A + u B \\ = t_{0} 5 A + u_{0} 2 B \end{array}$
また、 $5 A$ 、 $2 B$ は1次独立。

$5 A$ 、 $2 B$ によって張られる平行四辺形。

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