数学 - ネイピア数(オイラー数)の不思議 - 指数関数の微分、接線( @dankogai 、 @kamosawa )Dan Kogai さん、鴨澤眞夫さんのツイートより

学習環境

eは発見品ですよ。πほど見つけやすくはないけれど。「ある一点から同じ距離の点で出来た図形」も「いくら(微|積)分しても変わらない函数」も確かに天然ではない。でも「自然現象を突き詰めればそうなる」ははっきり見える https://t.co/LQRhgvCgFI
— Dan Kogai (@dankogai) 2017年6月10日

で、元の話に戻ると、道具的性質を教えない、というのは、あらゆる数学を「このような自然が存在する」みたいな、つまり博物学的な教え方で教えているように思うんだよね。eとか完全に発明品なのに、発見品のように提示される。それは理解を妨げてると思う。
— 鴨澤眞夫 (@kamosawa) 2017年6月10日

e(ネイピア数、オイラー数)の不思議を指数関数とその各点における接線のグラフによって視覚的に体感してみる。

一応、SymPyにより、何回(無限回)微分しても $e^{x}$ は変わらないことを確認。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, E, Pow, Derivative, Limit, S, exp

x = symbols('x')
n = symbols('n', integer=True, positive=True)
f = exp(x)
pprint(f)
fn = Derivative(f, x, n)
pprint(fn)

for n0 in range(0, 11):
    print('{0}回微分'.format(n0))
    fn0 = Derivative(f, x, n0)
    pprint(fn0)
    pprint(fn0.doit())
    print()

l = Limit(f, n, S.Infinity)
pprint(l)
pprint(l.doit())

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample7.py
 x
ℯ 
   2     
  d  ⎛ x⎞
─────⎝ℯ ⎠
dn dx    
0回微分
 x
ℯ 
 x
ℯ 

1回微分
d ⎛ x⎞
──⎝ℯ ⎠
dx    
 x
ℯ 

2回微分
  2    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  2    
dx     
 x
ℯ 

3回微分
  3    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  3    
dx     
 x
ℯ 

4回微分
  4    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  4    
dx     
 x
ℯ 

5回微分
  5    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  5    
dx     
 x
ℯ 

6回微分
  6    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  6    
dx     
 x
ℯ 

7回微分
  7    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  7    
dx     
 x
ℯ 

8回微分
  8    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  8    
dx     
 x
ℯ 

9回微分
  9    
 d ⎛ x⎞
───⎝ℯ ⎠
  9    
dx     
 x
ℯ 

10回微分
 10     
d   ⎛ x⎞
────⎝ℯ ⎠
  10    
dx      
 x
ℯ 

     x
lim ℯ 
n─→∞  
 x
ℯ
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="1">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">
<br>
<label for="dx0">dx0 = </label>
<input id="dx0" type="number" min="0" step="0.01" value="0.1">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample7.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_dx0 = document.querySelector('#dx0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
             input_dx0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => Math.exp(x),
    fn = (x) => Math.exp(x),    // e^x (eはネイピア数(オイラー数)は微分しても変わらない
    g = (x0) => (x) => fn(x0) * (x - x0) + f(x0); // x0 における接線


let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        dx0 = parseFloat(input_dx0.value);
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;n
    }

    let points = [],
        lines = [];

    for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
        let y = f(x);

        if (Math.abs(y) < Infinity) {
            points.push([x, y]);
        }
    }
    
    for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
        let g0 = g(x);

        lines.push([x1, g0(x1), x2, g0(x2), 'green']);
    }
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', 'red');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
dx0 =

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2017年6月10日土曜日

数学 - ネイピア数(オイラー数)の不思議 - 指数関数の微分、接線( @dankogai 、 @kamosawa )Dan Kogai さん、鴨澤眞夫さんのツイートより

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