数学 - Python - JavaScript - 指数関数と係数、無限回微分、極限( @hyuki 、 @tenapyon )結城浩さん、ゼルプスト殿下さんのツイートより

開発環境

たとえばこんな感じとかでしょうか（自明な例を避けようとしていくスタイル）https://t.co/oZTblc3uEq pic.twitter.com/xPLbKHDst1
— 結城浩 (@hyuki) 2017年6月10日

① 無限回微分可能な関数の例を上げなさい。
② その関数の無限階導関数を答えなさい。
— ゼルプスト殿下 (@tenapyon) 2017年6月9日

証明と SymPy による正解の確認をしてみた。(あと、SymPy(matplotlib)によるグラフの描画と、D3.jsによる任意の回数の微分によるグラフの描画も確認できるようにしてみた。)

$\begin{array}{l} f^{0} (x) = e^{\frac{x}{2}} \\ f^{(1)} (x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}} \\ f^{(2)} (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^{2}} e^{\frac{x}{2}} \end{array}$

予想: $f^{(n)} = \frac{1}{2^{n}} e^{\frac{x}{2}}$

予想が当たっているかどうか。

\begin{array}{l} f^{(n)} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2^{n - 1}} e^{\frac{1}{2} x}) \\ = \frac{1}{2^{n - 1}} \cdot e^{\frac{1}{2} x} \cdot \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2^{n}} e^{\frac{1}{2} x} \end{array}

予想の帰納法による証明完了。

$\lim_{n \to \infty} f^{(n)} (x) = \frac{1}{2^{\infty}} e^{\frac{x}{2}} = 0$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, exp, Derivative, Limit, S, plot

x = symbols('x')
n = symbols('n', integer=True, positive=True)

f = exp(x / 2)
pprint(f)
print()

fn = Derivative(f, x, n)
pprint(fn)
print()

# グラフの描画用
fns = []

for n0 in range(1, 11):
    print('{0}回微分'.format(n0))
    fn0 = Derivative(f, x, n0)
    pprint(fn0)
    fn0 = fn0.doit()
    fns.append(fn0)
    pprint(fn0)
    print()

l = Limit(fn, n, S.Infinity)
pprint(l)
pprint(l.doit())

p = plot(*fns, (x, 0, 5), show=False, legend=True)

for i, _ in enumerate(p):
    p[i].line_color = '#{:0<6}'.format(hex(i * 100)[2:])

p.save('sample6.svg')

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample6.py
 x
 ─
 2
ℯ 

     ⎛ x⎞
   2 ⎜ ─⎟
  d  ⎜ 2⎟
─────⎝ℯ ⎠
dn dx    

1回微分
  ⎛ x⎞
  ⎜ ─⎟
d ⎜ 2⎟
──⎝ℯ ⎠
dx    
 x
 ─
 2
ℯ 
──
2 

2回微分
   ⎛ x⎞
  2⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  2    
dx     
 x
 ─
 2
ℯ 
──
4 

3回微分
   ⎛ x⎞
  3⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  3    
dx     
 x
 ─
 2
ℯ 
──
8 

4回微分
   ⎛ x⎞
  4⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  4    
dx     
 x
 ─
 2
ℯ 
──
16

5回微分
   ⎛ x⎞
  5⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  5    
dx     
 x
 ─
 2
ℯ 
──
32

6回微分
   ⎛ x⎞
  6⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  6    
dx     
 x
 ─
 2
ℯ 
──
64

7回微分
   ⎛ x⎞
  7⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  7    
dx     
  x
  ─
  2
 ℯ 
───
128

8回微分
   ⎛ x⎞
  8⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  8    
dx     
  x
  ─
  2
 ℯ 
───
256

9回微分
   ⎛ x⎞
  9⎜ ─⎟
 d ⎜ 2⎟
───⎝ℯ ⎠
  9    
dx     
  x
  ─
  2
 ℯ 
───
512

10回微分
    ⎛ x⎞
 10 ⎜ ─⎟
d   ⎜ 2⎟
────⎝ℯ ⎠
  10    
dx      
  x 
  ─ 
  2 
 ℯ  
────
1024

         ⎛ x⎞
       2 ⎜ ─⎟
      d  ⎜ 2⎟
lim ─────⎝ℯ ⎠
n─→∞dn dx    
0
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">
<br>
<label for="n0">n = </label>
<input id="n0" type="number" min="0" step="1" value="1">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample6.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_n0 = document.querySelector('#n0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_n0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => Math.exp(1 / 2 * x);    

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        n = parseInt(input_n0.value, 10);
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;n
    }

    let points = [],
        lines = [],
        fn = (x) => 1 / 2 ** n * Math.exp(1 / 2 * x);
    
    for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
        let y = f(x);

        if (Math.abs(y) < Infinity) {
            points.push([x, y]);
        }
    }
    let t1 = points.length;
    
    for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
        let y = fn(x);

        if (Math.abs(y) < Infinity) {
            points.push([x, y]);
        }
    }
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d, i) =>
              i < t1 ? 'green' : 'blue');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [f, g, h].forEach((fn) => p(fn(Math.random())));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();

r = dx =
x1 = x2 =
y1 = y2 =
n =

Kamimura's blog

2017年6月10日土曜日

数学 - Python - JavaScript - 指数関数と係数、無限回微分、極限( @hyuki 、 @tenapyon )結城浩さん、ゼルプスト殿下さんのツイートより

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