2017年6月21日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第5章(平均値の定理)、3(増加・減少関数)、練習問題13-22.を取り組んでみる。


  1. f'( x )=2x2=2( x1 ) f( 1 )=128=9 f( 0 )=8 f( 4 )=1688=0

    1. 最大値: 、最小値: 9

    2. 最大値: 0 、最小値: 9

    3. 増加区間: x1 、減少区間: x1

  2. f'( x )=2x2=2( x1 ) f( 1 )=12+1=0 f( 1 )=1+2+1=4 f( 4 )=168+1=9

    1. 最大値: 、最小値: 0

    2. 最大値: 9 、最小値: 0

    3. 増加区間: x1 、減少区間: x1

  3. f'( x )=42x=2( x+2 ) f( 2 )=4+84=8 f( 1 )=4+41=7 f( 4 )=41616=28

    1. 最大値: 7 、最小値:

    2. 最大値: 8 、最小値: 28

    3. 増加区間: x2 、減少区間: x2

  4. f'( x )=12x f( 1 2 )= 1 2 1 4 = 1 4 f( 1 )=11=2 f( 2 )=24=2

    1. 最大点: ( 1 2 , 1 4 ) 、最小点:

    2. 最大点: ( 1 2 , 1 4 ) 、最小点: ( 1,2 ) ( 2,2 )

    3. 増加区間: x 1 2 、減少区間: x 1 2

  5. f'( x )=33 x 2 =3( x 2 1 ) f( 1 )=3+1=2 f( 1 )=31=2 f( 2 )=6+8=2 f( 3 )=3 3 3 3 =0

    1. 最大点: 、最小点:

    2. 最大点: ( 2,2 ) ( 1,2 ) 、最小点: ( 1,2 )

    3. 増加区間: 1x1 、減少区間: x1,1x

  6. f'( x )=5 ( x4 ) 4 f( 4 )=0 f( 3 )=1 f( 6 )=32

    1. 最大点: 、最小点:

    2. 最大点: ( 6,32 ) 、最小点: ( 3,1 )

    3. 増加区間: ( , ) 、減少区間: ϕ

  7. f'( x )=4 x 3 4x=4x( x 2 1 ) f( 1 )=12=1 f( 1 )=12=1 f( 2 )=168=8 f( 1 )=12=1

    1. 最大点: 、最小点: ( 1,1 ) ( 1,1 )

    2. 最大点: ( 2,8 ) 、最小点: ( 1,1 ) ( 1,1 )

    3. 増加区間: 1x0,1x 、減少区間: x1,0x1

  8. f'( x )= 1 3 ( x1 ) 2 3 + 1 2 · 2 3 ( x+1 ) 1 3 = 1 3 ( ( x1 ) 2 3 + ( x+1 ) 1 3 )>0 f( 2 )= ( 3 ) 1 3 + 1 2 ( 1 ) 2 3 = ( 3 ) 1 3 + 1 2 >0 f( 7 )= 6 1 3 + 7 2 3 2 >f( 2 )

    1. 最大点: 、最小点:

    2. 最大点: ( 7, 6 1 3 + 7 2 3 2 ) 、最小点: ( 2, ( 3 ) 1 3 + 1 2 )

    3. 増加区間: ( , ) 、減少区間: ϕ

  9. f'( x )= 2 5 x 3 5 f( 0 )=1 f( 1 )=1+1=2 f( 1 )=1+1=2

    1. 最大点: 、最小点: ( 0,1 )

    2. 最大点: ( ±1,2 ) 、最小点: ( 0,1 )

    3. 増加区間: x0 、減少区間: x0

  10. f'( x )= 1 2 ( x 2 +1 ) 1 2 2=x ( x 2 +1 ) 1 2 f( 0 )=1 f( 8 )=3

    1. 最大点: 、最小点: ( 0,1 )

    2. 最大点: ( 8 ,3 ) 、最小点: ( 0,1 )

    3. 増加区間: x0 、減少区間: x0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, sqrt, Derivative, solve, plot, Rational, Pow

x = symbols('x', nonnegative=True)
fs = [Pow(x - 1, Rational(1, 3)) + Rational(1, 2) * Pow(x + 1, Rational(2, 3)),
      Pow(x, Rational(2, 5)) + 1,
      sqrt(Pow(x, 2) + 1)]

p = plot(*fs, show=False, legend=True)

for i, (f, color) in enumerate(zip(fs, ['red', 'green', 'blue'])):
    print('{0}.'.format(20 + i))
    d = Derivative(f, x)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(solve(f1, x))
    p[i].line_color = color

p.save('sample13.svg')

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample13.py
20.
  ⎛                   2/3⎞
d ⎜3 _______   (x + 1)   ⎟
──⎜╲╱ x - 1  + ──────────⎟
dx⎝                2     ⎠
[]
21.
d ⎛ 2/5    ⎞
──⎝x    + 1⎠
dx          
[]
22.
  ⎛   ________⎞
d ⎜  ╱  2     ⎟
──⎝╲╱  x  + 1 ⎠
dx             
[0]
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample13.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let factorial = (n) => range(1, n + 1).reduce((prev, next) => prev * next, 1);

let f = (x) => (x - 1) ** (1 / 3) + 1 / 2 * ((x + 1) ** 2) ** (1 / 3),
    g = (x) => (x ** 2) ** (1 / 5) + 1,
    h = (x) => Math.sqrt(x ** 2 + 1);

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);
    
    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;n
    }
    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f, 'red'], [g, 'green'], [h, 'blue']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');
    
    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');
    
    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    p(fns.join('\n'));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();







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