2017年7月27日木曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題21、22、23、24、25.を取り組んでみる。

    • f'( x )=4 x 2 4 x 2 =0 x=±2
    • 増加する範囲。

      2x2
    • 減少する範囲。

      x2,2x
    • 極大点。

      x=2
    • 極小点。

      x=2
    • f'( x )= 2 3 ( x1 ) 1 3
    • 増加する範囲。

      1<x
    • 減少する範囲。

      x<1
    • 極大点。

    • 極小点。

      x=1
    • f'( x )=2x+4 =2( x+2 ) x=2
    • 増加する範囲。

      2<x
    • 減少する範囲。

      x<2
    • 極大点。

    • 極小点。

      x=2
    • x±3 f'( x )= 4( x 2 9 )4x·2x ( x 2 9 ) 2 = 4 x 2 36 ( x 2 9 ) 2 = 4( x 2 +9 ) ( x 2 9 ) 2 >0
    • 増加する範囲。

      ϕ
    • 減少する範囲。

      { 3,3 }
    • 極大点。

    • 極小点。

    • x0 f'( x )=1 3 x 2 1 3 x 2 =0 x=± 3
    • 増加する範囲。

      x< 3 , 3 <x
    • 減少する範囲。

      3 <x<0,0<x< 3
    • 極大点。

      x= 3
    • 極小点。

      x= 3

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot, Rational

x = symbols('x')
fs = [4 * x - Rational(1, 3) * x ** 3,
      ((x - 1) ** 2) ** Rational(1, 3) + 3,
      x ** 2 + 4 * x + 2,
      4 * x / (x ** 2 - 9),
      x + 3 / x]

for i, f in enumerate(fs, 21):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample21.py
(21)
  ⎛   3      ⎞
d ⎜  x       ⎟
──⎜- ── + 4⋅x⎟
dx⎝  3       ⎠
   2    
- x  + 4
[-2, 2]
    ⎛   3      ⎞
    ⎜  x       ⎟
lim ⎜- ── + 4⋅x⎟
x─→∞⎝  3       ⎠
-∞
     ⎛   3      ⎞
     ⎜  x       ⎟
 lim ⎜- ── + 4⋅x⎟
x─→-∞⎝  3       ⎠
∞

(22)
  ⎛   __________    ⎞
d ⎜3 ╱        2     ⎟
──⎝╲╱  (x - 1)   + 3⎠
dx                   
             __________
⎛2⋅x   2⎞ 3 ╱        2 
⎜─── - ─⎟⋅╲╱  (x - 1)  
⎝ 3    3⎠              
───────────────────────
               2       
        (x - 1)        
[]
    ⎛   __________    ⎞
    ⎜3 ╱        2     ⎟
lim ⎝╲╱  (x - 1)   + 3⎠
x─→∞                   
∞
     ⎛   __________    ⎞
     ⎜3 ╱        2     ⎟
 lim ⎝╲╱  (x - 1)   + 3⎠
x─→-∞                   
∞

(23)
d ⎛ 2          ⎞
──⎝x  + 4⋅x + 2⎠
dx              
2⋅x + 4
[-2]
    ⎛ 2          ⎞
lim ⎝x  + 4⋅x + 2⎠
x─→∞              
∞
     ⎛ 2          ⎞
 lim ⎝x  + 4⋅x + 2⎠
x─→-∞              
∞

(24)
d ⎛ 4⋅x  ⎞
──⎜──────⎟
dx⎜ 2    ⎟
  ⎝x  - 9⎠
        2           
     8⋅x        4   
- ───────── + ──────
          2    2    
  ⎛ 2    ⎞    x  - 9
  ⎝x  - 9⎠          
[-3⋅ⅈ, 3⋅ⅈ]
    ⎛ 4⋅x  ⎞
lim ⎜──────⎟
x─→∞⎜ 2    ⎟
    ⎝x  - 9⎠
0
     ⎛ 4⋅x  ⎞
 lim ⎜──────⎟
x─→-∞⎜ 2    ⎟
     ⎝x  - 9⎠
0

(25)
d ⎛    3⎞
──⎜x + ─⎟
dx⎝    x⎠
    3 
1 - ──
     2
    x 
[-√3, √3]
    ⎛    3⎞
lim ⎜x + ─⎟
x─→∞⎝    x⎠
∞
     ⎛    3⎞
 lim ⎜x + ─⎟
x─→-∞⎝    x⎠
-∞

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample21.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => 4 * x / (x ** 2 - 9),
    g = (x) => x + 3 / x;
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [[-3, y1, -3, y2, 'red'],
                 [3, y1, 3, y2, 'red']],
        fns = [[f, 'green'],
               [g, 'orange']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();







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