2017年7月25日火曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題15、16.を取り組んでみる。


    1. x軸との交点。

      x( x 6 +1 )=0 x=0 ( 0,0 )

      y軸との交点は(0, 0)。


    2. 臨界点。

      f'( x )=7 x 6 +11

      臨界点は無い。


    3. 増加する範囲は全区間。


    4. 減少する範囲は無い。


    5. 極大点、極小点は無い。


    6. lim x f( x )=

      lim x f( x )=


    7. 未定義の区間はない。


    1. x軸との交点。

      x( x 7 +1 )=0 x=0,1 ( 0,0 ),( 1,0 )

      y軸との交点は(0, 0)。


    2. f'( x )=8 x 7 +1 =8( x 7 + 1 8 ) x= 1 8 1 7

    3. 増加する範囲。

      x 1 8 1 7

    4. 減少する範囲。

      1 8 1 7 x

    5. 極大点はない。

      極小点は x= 1 8 1 7


    6. lim x± f( x )=


    7. 未定義の区間は無い。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot

x = symbols('x')
fs = [x ** 7 + x,
      x ** 8 + x]

for i, f in enumerate(fs, 15):
    print(f'{i}.')
    pprint(f)
    pprint(solve(f))
    pprint(f.subs({x: 0}))
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    print()

p = plot(*fs, show=False, legend=True)
for i, color in enumerate(['red', 'green']):
    p[i].line_color = color

p.save('sample15.svg')

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample15.py
15.
 7    
x  + x
⎡            √3   ⅈ    √3   ⅈ  √3   ⅈ  √3   ⅈ⎤
⎢0, -ⅈ, ⅈ, - ── - ─, - ── + ─, ── - ─, ── + ─⎥
⎣            2    2    2    2  2    2  2    2⎦
0
d ⎛ 7    ⎞
──⎝x  + x⎠
dx        
   6    
7⋅x  + 1
⎡  5/6      5/6          5/6    5/6          5/6    5/6        5/6    5/6     
⎢-7   ⋅ⅈ   7   ⋅ⅈ    √3⋅7      7   ⋅ⅈ    √3⋅7      7   ⋅ⅈ  √3⋅7      7   ⋅ⅈ  √
⎢────────, ──────, - ─────── - ──────, - ─────── + ──────, ─────── - ──────, ─
⎣   7        7          14       14         14       14       14       14     

   5/6    5/6  ⎤
3⋅7      7   ⋅ⅈ⎥
────── + ──────⎥
  14       14  ⎦
    ⎛ 7    ⎞
lim ⎝x  + x⎠
x─→∞        
∞
     ⎛ 7    ⎞
 lim ⎝x  + x⎠
x─→-∞        
-∞

16.
 8    
x  + x
⎡      ⎛π⎞        ⎛π⎞       2⎛π⎞      2⎛π⎞       2⎛π⎞      2⎛π⎞          ⎛π⎞  
⎢0, cos⎜─⎟ + ⅈ⋅sin⎜─⎟, - cos ⎜─⎟ - sin ⎜─⎟, - cos ⎜─⎟ + sin ⎜─⎟ - 2⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅c
⎣      ⎝7⎠        ⎝7⎠        ⎝7⎠       ⎝7⎠        ⎝7⎠       ⎝7⎠          ⎝7⎠  

  ⎛π⎞       ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞      ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞        ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞        ⎛2⋅π⎞   
os⎜─⎟, - sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟ + cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅co
  ⎝7⎠       ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠      ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠        ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠   

 ⎛π⎞     ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞      ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞        ⎛2⋅π⎞    ⎛π⎞        ⎛π⎞    ⎛2⋅π
s⎜─⎟, sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟ + cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅cos⎜─⎟ + ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───
 ⎝7⎠     ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠      ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠    ⎝7⎠        ⎝7⎠    ⎝ 7 

⎞       ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞      ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞        ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞        ⎛3⋅π⎞    ⎛π⎞
⎟, - sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟ - cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟ + ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅cos⎜─⎟
⎠       ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠      ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠        ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠    ⎝7⎠

       ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞      ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞        ⎛3⋅π⎞    ⎛π⎞        ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞⎤
, - cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟ + sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟ - ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅cos⎜─⎟ - ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟⎥
       ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠      ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠        ⎝ 7 ⎠    ⎝7⎠        ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠⎦
0
d ⎛ 8    ⎞
──⎝x  + x⎠
dx        
   7    
8⋅x  + 1
⎡ 4/7    ⎛π⎞    4/7      ⎛π⎞     4/7    2⎛π⎞    4/7    2⎛π⎞     4/7    2⎛π⎞   
⎢2   ⋅cos⎜─⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟    2   ⋅cos ⎜─⎟   2   ⋅sin ⎜─⎟    2   ⋅cos ⎜─⎟   
⎢        ⎝7⎠             ⎝7⎠             ⎝7⎠            ⎝7⎠             ⎝7⎠   
⎢─────────── + ─────────────, - ──────────── - ────────────, - ──────────── + 
⎣     2              2               2              2               2         

 4/7    2⎛π⎞                            4/7    ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞    4/7    ⎛π⎞    ⎛
2   ⋅sin ⎜─⎟                           2   ⋅sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟   2   ⋅cos⎜─⎟⋅cos⎜
         ⎝7⎠    4/7      ⎛π⎞    ⎛π⎞            ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠           ⎝7⎠    ⎝
──────────── - 2   ⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜─⎟, - ──────────────────── + ────────────────
     2                   ⎝7⎠    ⎝7⎠             2                      2      

2⋅π⎞    4/7      ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞    4/7      ⎛2⋅π⎞    ⎛π⎞   4/7    ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞  
───⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅cos⎜─⎟  2   ⋅sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟  
 7 ⎠             ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠             ⎝ 7 ⎠    ⎝7⎠          ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠  
──── + ────────────────────── + ──────────────────────, ──────────────────── +
                 2                        2                      2            

  4/7    ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞    4/7      ⎛2⋅π⎞    ⎛π⎞    4/7      ⎛π⎞    ⎛2⋅π⎞     4/
 2   ⋅cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅cos⎜─⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟    2  
         ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠             ⎝ 7 ⎠    ⎝7⎠             ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠       
 ──────────────────── - ────────────────────── + ──────────────────────, - ───
          2                       2                        2                  

7    ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞    4/7    ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞    4/7      ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞    4/7      
 ⋅sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟   2   ⋅cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin
     ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠           ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠             ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠             
───────────────── - ──────────────────── - ────────────────────── + ──────────
      2                      2                       2                        

⎛3⋅π⎞    ⎛π⎞     4/7    ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞    4/7    ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞    4/7      ⎛3⋅π⎞ 
⎜───⎟⋅cos⎜─⎟    2   ⋅cos⎜─⎟⋅cos⎜───⎟   2   ⋅sin⎜─⎟⋅sin⎜───⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜───⎟⋅
⎝ 7 ⎠    ⎝7⎠            ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠           ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠             ⎝ 7 ⎠ 
────────────, - ──────────────────── + ──────────────────── - ────────────────
2                        2                      2                       2     

   ⎛π⎞    4/7      ⎛π⎞    ⎛3⋅π⎞⎤
cos⎜─⎟   2   ⋅ⅈ⋅sin⎜─⎟⋅cos⎜───⎟⎥
   ⎝7⎠             ⎝7⎠    ⎝ 7 ⎠⎥
────── - ──────────────────────⎥
                   2           ⎦
    ⎛ 8    ⎞
lim ⎝x  + x⎠
x─→∞        
∞
     ⎛ 8    ⎞
 lim ⎝x  + x⎠
x─→-∞        
∞

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-2">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="2">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-2">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="2">
<br>
<label for="dx0">dx0 = </label>
<input id="dx0" type="number" min="0" value="0.05">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample15.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_dx0 = document.querySelector('#dx0'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
             input_dx0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f = (x) => x ** 7 + x,
    f1 = (x) => 7 * x ** 6 + 1,
    g = (x0) => (x) => f1(x0) * (x - x0) + f(x0),
    h = (x) => x ** 8 + x;
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        dx0 = parseFloat(input_dx0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = [[f, 'green'],
               [h, 'red']],
        fns1 = [],
        fns2 = [[g, 'orange']];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();








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