2017年7月14日金曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、1(xが大きくなるときの様子)、練習問題19、20.を取り組んでみる。


  1. f( x )= a n x n ( 1+ i=0 n1 a i x i a n x n ) = a n x n ( 1+ i=0 n1 a i a n x ni )

    nが奇数の場合。

    a n >0 lim x f( x )= lim x f( x )= a n <0 lim x f( x )= lim x f( x )=

    nが偶数の場合。

    a n >0 lim x f( x )= lim x f( x )= a n <0 lim x f( x )= lim x f( x )=

  2. 多項式は連続である。そして、前問よりnが奇数の場合、すなわち奇数次の多項式は、xが正に非常に大きくなる場合と負に非常に大きくなる場合で符号が異なる。

    よって、中間値の定理より、f(a) を満たす実数aが存在する。すなわち、任意の奇数次の多項式は実根をもつ。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, Limit, S, summation, Pow

x = symbols('x')
i = symbols('i', integer=True)
f1 = summation((12 - i) * Pow(x, i), (i, 0, 11))
f2 = summation((i - 12) * Pow(x, i), (i, 0, 11))
f3 = summation((11 - i) * Pow(x, i), (i, 0, 10))
f4 = summation((i - 11) * Pow(x, i), (i, 0, 10))

fs = [f1, f2, f3, f4]
for f in fs:
    pprint(f)
    print()
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample19.py
 11      10      9      8      7      6      5      4      3       2          
x   + 2⋅x   + 3⋅x  + 4⋅x  + 5⋅x  + 6⋅x  + 7⋅x  + 8⋅x  + 9⋅x  + 10⋅x  + 11⋅x + 

  
12

    ⎛ 11      10      9      8      7      6      5      4      3       2     
lim ⎝x   + 2⋅x   + 3⋅x  + 4⋅x  + 5⋅x  + 6⋅x  + 7⋅x  + 8⋅x  + 9⋅x  + 10⋅x  + 11
x─→∞                                                                          

       ⎞
⋅x + 12⎠
        
∞

     ⎛ 11      10      9      8      7      6      5      4      3       2    
 lim ⎝x   + 2⋅x   + 3⋅x  + 4⋅x  + 5⋅x  + 6⋅x  + 7⋅x  + 8⋅x  + 9⋅x  + 10⋅x  + 1
x─→-∞                                                                         

        ⎞
1⋅x + 12⎠
         
-∞


   11      10      9      8      7      6      5      4      3       2        
- x   - 2⋅x   - 3⋅x  - 4⋅x  - 5⋅x  - 6⋅x  - 7⋅x  - 8⋅x  - 9⋅x  - 10⋅x  - 11⋅x 

    
- 12

    ⎛   11      10      9      8      7      6      5      4      3       2   
lim ⎝- x   - 2⋅x   - 3⋅x  - 4⋅x  - 5⋅x  - 6⋅x  - 7⋅x  - 8⋅x  - 9⋅x  - 10⋅x  - 
x─→∞                                                                          

         ⎞
11⋅x - 12⎠
          
-∞

     ⎛   11      10      9      8      7      6      5      4      3       2  
 lim ⎝- x   - 2⋅x   - 3⋅x  - 4⋅x  - 5⋅x  - 6⋅x  - 7⋅x  - 8⋅x  - 9⋅x  - 10⋅x  -
x─→-∞                                                                         

          ⎞
 11⋅x - 12⎠
           
∞


 10      9      8      7      6      5      4      3      2            
x   + 2⋅x  + 3⋅x  + 4⋅x  + 5⋅x  + 6⋅x  + 7⋅x  + 8⋅x  + 9⋅x  + 10⋅x + 11

    ⎛ 10      9      8      7      6      5      4      3      2            ⎞
lim ⎝x   + 2⋅x  + 3⋅x  + 4⋅x  + 5⋅x  + 6⋅x  + 7⋅x  + 8⋅x  + 9⋅x  + 10⋅x + 11⎠
x─→∞                                                                         
∞

     ⎛ 10      9      8      7      6      5      4      3      2            ⎞
 lim ⎝x   + 2⋅x  + 3⋅x  + 4⋅x  + 5⋅x  + 6⋅x  + 7⋅x  + 8⋅x  + 9⋅x  + 10⋅x + 11⎠
x─→-∞                                                                         
∞


   10      9      8      7      6      5      4      3      2            
- x   - 2⋅x  - 3⋅x  - 4⋅x  - 5⋅x  - 6⋅x  - 7⋅x  - 8⋅x  - 9⋅x  - 10⋅x - 11

    ⎛   10      9      8      7      6      5      4      3      2            
lim ⎝- x   - 2⋅x  - 3⋅x  - 4⋅x  - 5⋅x  - 6⋅x  - 7⋅x  - 8⋅x  - 9⋅x  - 10⋅x - 11
x─→∞                                                                          

⎞
⎠
 
-∞

     ⎛   10      9      8      7      6      5      4      3      2           
 lim ⎝- x   - 2⋅x  - 3⋅x  - 4⋅x  - 5⋅x  - 6⋅x  - 7⋅x  - 8⋅x  - 9⋅x  - 10⋅x - 1
x─→-∞                                                                         

 ⎞
1⎠
  
-∞


$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">
<br>
<label for="n0">n0 = </label>
<input id="n0" type="number" min="1" step="1" value="1">
<label for="a0">a0 = </label>
<input id="a0" type="number" min="-1" max="1" step="2" value="1">



<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample19.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    input_n0 = document.querySelector('#n0'),
    input_a0 = document.querySelector('#a0'),    
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2,
              input_n0, input_a0],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value),
        n0 = parseInt(input_n0.value),
        a0 = parseInt(input_a0.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        f = (x) =>
        range(0, n0 + 1)
        .map((i) => a0 * (n0 + 1 - i) * x ** i)
        .reduce((prev, next) => prev + next),
        fns = [[f, 'green']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();








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