2017年7月31日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第6章(曲線をえがくこと)、2(曲線をえがくこと)、練習問題31、32、33、34、35.を取り組んでみる。

    • x 5 3 f'( x )= 3x5x3 ( 3x5 ) 2 = 5 ( 3x5 ) 2 <0
    • 増加する範囲。

      ϕ
    • 減少する範囲。

      { 5 3 }
    • 極大点。

    • 極小点。

    • x4 f( x )= 2x+88 x+4 =2 8 x+4 f'( x )= 1 ( x+4 ) 2 >0
    • 増加する範囲。

      { 4 }
    • 減少する範囲。

      ϕ
    • 極大点。

    • 極小点。

    • x>1 f'( x )= 2x x+1 x 2 1 2 ( x+1 ) 1 2 x+1 2x x+1 x 2 1 2 ( x+1 ) 1 2 =0 2x( x+1 ) x 2 2 =0 4 x 2 +4x x 2 =0 x( 3x+4 )=0
    • 増加する範囲。

      0<x
    • 減少する範囲。

      1<x<0
    • 極大点。

    • 極小点。

      x=0
    • f'( x )= x 2 +5( x+1 )2x ( x 2 +5 ) 2 = x 2 2x+5 ( x 2 +5 ) 2 x 2 2x+5=0 x 2 +2x5=0 x=1± 1+5 =1± 6
    • 増加する範囲。

      1 6 <x<1+ 6
    • 減少する範囲。

      x<1 6 ,1+ 6 <x
    • 極大点。

      x=1+ 6
    • 極小点。

      x=1 6
    • x± 5 f'( x )= x 2 5( x+1 )2x ( x 2 5 ) 2 = x 2 2x5 ( x 2 5 ) 2 x 2 2x5=0 x 2 +2x+5=0 D 4 =15<0 f'( x )<0
    • 増加する範囲。

      ϕ
    • 減少する範囲。

      { ± 5 }
    • 極大点。

    • 極小点。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from sympy import pprint, symbols, solve, Derivative, Limit, S, plot, sqrt

x = symbols('x')
fs = [x / (3 * x - 5),
      2 * x / (x + 4),
      x ** 2 / sqrt(x + 1),
      (x + 1) / (x ** 2 + 5),
      (x + 1) / (x ** 2 - 5)]

for i, f in enumerate(fs, 31):
    print(f'({i})')
    d = Derivative(f, x, 1)
    pprint(d)
    f1 = d.doit()
    pprint(f1)
    pprint(solve(f1))
    for x0 in [S.Infinity, -S.Infinity]:
        l = Limit(f, x, x0)
        pprint(l)
        pprint(l.doit())
    p = plot(f, show=False, legend=True)
    p.save(f'sample{i}.svg')
    print()

入出力結果(Terminal, IPython)

$ ./sample31.py
(31)
d ⎛   x   ⎞
──⎜───────⎟
dx⎝3⋅x - 5⎠
     3⋅x          1   
- ────────── + ───────
           2   3⋅x - 5
  (3⋅x - 5)           
[]
    ⎛   x   ⎞
lim ⎜───────⎟
x─→∞⎝3⋅x - 5⎠
1/3
     ⎛   x   ⎞
 lim ⎜───────⎟
x─→-∞⎝3⋅x - 5⎠
1/3

(32)
d ⎛ 2⋅x ⎞
──⎜─────⎟
dx⎝x + 4⎠
    2⋅x        2  
- ──────── + ─────
         2   x + 4
  (x + 4)         
[]
    ⎛ 2⋅x ⎞
lim ⎜─────⎟
x─→∞⎝x + 4⎠
2
     ⎛ 2⋅x ⎞
 lim ⎜─────⎟
x─→-∞⎝x + 4⎠
2

(33)
  ⎛     2   ⎞
d ⎜    x    ⎟
──⎜─────────⎟
dx⎜  _______⎟
  ⎝╲╱ x + 1 ⎠
        2                 
       x            2⋅x   
- ──────────── + ─────────
           3/2     _______
  2⋅(x + 1)      ╲╱ x + 1 
[-4/3, 0]
    ⎛     2   ⎞
    ⎜    x    ⎟
lim ⎜─────────⎟
x─→∞⎜  _______⎟
    ⎝╲╱ x + 1 ⎠
∞
     ⎛     2   ⎞
     ⎜    x    ⎟
 lim ⎜─────────⎟
x─→-∞⎜  _______⎟
     ⎝╲╱ x + 1 ⎠
-∞⋅ⅈ

(34)
d ⎛x + 1 ⎞
──⎜──────⎟
dx⎜ 2    ⎟
  ⎝x  + 5⎠
  2⋅x⋅(x + 1)     1   
- ─────────── + ──────
           2     2    
   ⎛ 2    ⎞     x  + 5
   ⎝x  + 5⎠           
[-1 + √6, -√6 - 1]
    ⎛x + 1 ⎞
lim ⎜──────⎟
x─→∞⎜ 2    ⎟
    ⎝x  + 5⎠
0
     ⎛x + 1 ⎞
 lim ⎜──────⎟
x─→-∞⎜ 2    ⎟
     ⎝x  + 5⎠
0

(35)
d ⎛x + 1 ⎞
──⎜──────⎟
dx⎜ 2    ⎟
  ⎝x  - 5⎠
  2⋅x⋅(x + 1)     1   
- ─────────── + ──────
           2     2    
   ⎛ 2    ⎞     x  - 5
   ⎝x  - 5⎠           
[-1 - 2⋅ⅈ, -1 + 2⋅ⅈ]
    ⎛x + 1 ⎞
lim ⎜──────⎟
x─→∞⎜ 2    ⎟
    ⎝x  - 5⎠
0
     ⎛x + 1 ⎞
 lim ⎜──────⎟
x─→-∞⎜ 2    ⎟
     ⎝x  - 5⎠
0

$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.0001" value="0.001">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-10">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="10">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-10">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="10">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample31.js"></script>    

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let f1 = (x) => x / (3 * x - 5),
    f2 = (x) => 2 * x / (x + 4),
    f5 = (x) => (x + 1) / (x ** 2 - 5);
    
let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        x3 = 5 / 3,
        x4 = -4,
        x5 = Math.sqrt(5),
        lines = [[x3, y1, x3, y2, 'red'],
                 [x4, y1, x4, y2, 'brown'],
                 [x5, y1, x5, y2, 'purple'],
                 [-x5, y1, -x5, y2, 'purple']],
        fns = [[f1, 'orange'],
               [f2, 'green'],
               [f5, 'blue']],
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                if (Math.abs(y) < Infinity) {
                    points.push([x, y, color]);
                }
            }
        });                 

    fns2
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();







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