2017年8月10日木曜日

学習環境

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題2.を取り組んでみる。


  1. 和の一様収束について。

    問題の仮定より、任意の正の実数εに対してある自然数 N 1 N 2 が存在してEで次のことが成り立つ。

    m 1 , n 1 N 1 | f m ( x ) f n ( x ) |< ϵ 2 m 2 , n 2 N 2 | g m ( x ) g n ( x ) |< ϵ 2

    よって、 N=max{ N 1 , N 1 } とすれば、 m,nN のとき、次のことが成り立つ。

    | ( f m ( x )+ g m ( x ) )( f n ( x )+ g n ( x ) ) | =| ( f m ( x ) f n ( x ) )+( g m ( x ) g n ( x ) ) | =| ( f m ( x ) f n ( x ) )+( g m ( x ) g n ( x ) ) | =| f m ( x ) f n ( x ) |+| g m ( x ) g n ( x ) | < ϵ 2 + ϵ 2 =ϵ | ( f m ( x )+ g m ( x ) )( f n ( x )+ g n ( x ) ) |<ϵ

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