2017年8月9日水曜日

学習環境

解析入門〈2〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第9章(関数列と関数級数)、9.1(一様収束)、問題1.を取り組んでみる。


  1. 関数列はE上で有界。

    | f n | M n

    関数列がEで一様収束すると仮定。

    εを任意の正の実数とすると、ある自然数Nが存在して、N以上の自然数m、nに対して、全てのxにおいて次のことが成り立つ。

    | f m ( x ) f n ( x ) |<ϵ

    上記で m = N とする。

    | f N ( x ) f n ( x ) |<ϵ | f n ( x ) || f N ( x ) || f N ( x ) f n ( x ) |<ϵ | f n ( x ) |<| f N ( x ) |+ϵ

    M=max{ M 1 ,, M n ,| f N ( x ) |+ϵ } とすれば、全ての自然数nおよび全ての xE に対して次のことが成り立つ。

    | f n ( x ) |M

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