2017年10月22日日曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題1.を取り組んでみる。


    1. 0 V 1 F( 0 ) =F( 0+0 ) =F( 0 )+F( 0 ) 0=F( 0 ) 0F( V 1 )

      よって、線型写像FによるV1の像は、Wの零ベクトルを含む。

    2. w1、w2をF(V1)の任意の元とする。

      あるベクトル空間V1の元v1、v2が存在して、F(v1) = w1、F(v2) = w2が成り立つ。

      w1 + w2 = F(v1) + F(v2) = F(v1 + v2)が成り立つ。

      v1 + v2はベクトル空間V1の元なので、w1 + w2 はF(V1)の元となる。

      よって、F(V1)は和について閉じている。

    3. wをF(v1)nお任意の元とする。

      あるV1の元vが存在して、F(v) = wが成り立つ。

      スカラー倍について、cw = cF(v) = F(cv)が成り立つ。

      cvはV1の元なので、cwはF(V1)の元である。

      よって、像F(V1)はスカラー倍について閉じている。

    以上より、F(V1)はWの部分空間である。(証明終)

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