2017年10月27日金曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題6.を取り組んでみる。

  1. dim V < dim Wとする。

    ベクトル空間V、Wの基底。

    { v 1 ,, v n } { w 1 ,, w m } n<m

    FをVからWへの写像。

    F:VW F( v k )= w k ( k=1,,n ) vV v= x 1 v 1 ++ x n v n F( v )= x 1 w 1 ++ x n w n

    Fの線型性について。

    a,bV a= a 1 v 1 ++ a n v n b= b 1 v 1 ++ b n v n F( a+b ) =F( ( a 1 + b 1 ) v 1 ++( a n + b n ) v n ) =( a 1 + b 1 ) w 1 ++( a n + b n ) w n = a 1 w 1 ++ a n w n + b 1 w 1 ++ b n w n =F( a )+F( b ) F( ca ) =F( ( c a 1 ) v 1 ++( c a n ) v n ) =( c a 1 ) w 1 ++( c a n ) w n =c( a 1 w 1 )++c( a n ) w n =c( a 1 w 1 ++ a n w n ) =cF( a )

    よって、Fは線型写像。

    GをWからVへの写像。

    G:WV G( w k )= v k ( k=1,,n ) G( w k )=0( k=n+1,,m ) wW w= x 1 w 1 ++ x m w m G( w )= x 1 v 1 ++ x n v n

    Gの線型性について。

    a,bW a= a 1 w 1 ++ a m w m b= b 1 w 1 ++ b m w m G( a+b ) =G( ( a 1 w 1 ++ a m w m )+( b 1 w 1 ++ b m w m ) ) =G( ( a 1 + b 1 ) w 1 ++( a m + b m ) w m ) =( a 1 + b 1 ) v 1 ++( a n + b n ) w n = a 1 v 1 ++ a n v n + b 1 v 1 ++ b n v n =G( a )+G( b ) G( ca ) =G( c( a 1 w 1 ++ a m w m ) ) =G( ( c a 1 ) w 1 ++( c a m ) w m ) =( c a 1 ) v 1 ++( c a n ) v n =c( a 1 v 1 )++c( a n v n ) =c( a 1 v 1 ++ a n v n ) =cG( a )

    よって、Gは線型写像。

    合成写像について。

    vV v= x 1 v 1 ++ x n v n ( GF )( v ) =G( F( v ) ) =G( x 1 w 1 +c+ x n w n ) = x 1 v 1 ++ x n w n =v

    よって、合成写像は恒等写像である。

    GF= I V

    また、線型写像Fについて。

    w n W F 1 ( { w n } )=ϕ

    よって、線型写像Fは前者ではないので、同型写像ではない。

    以上より、dim V = dim W を仮定しない場合に前問の結論は成り立たない。(証明終)

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