2017年10月30日月曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題9.を取り組んでみる。

  1. x、yを問題のすべての数の集合の元とする。

    a、b、c、eを有理数とする。

    γ=± c x=a+bγ y=d+eγ

    和について。

    x+y =( a+c )+( b+d )γ

    a + b、d + eは有理数なので、加法について閉じてる。

    積について。

    xy =ad+be γ 2 +( ae+bd )γ =( ad+bec )+( ae+bd )γ

    ad + bec、ae + bd は有理数なので、乗法について閉じてる。

    加法の単位元0について。

    0=0+0γ

    情報の単位元1について。

    1=1+0γ

    加法の逆元について。

    x=abγ

    -a、-bは有理数である。

    乗法の逆元について。

    x0 a=bγ x=a+a=2a x 1 = 1 2a = 1 2a +0γ 1 2a ,0 abγ x 1 = 1 a+bγ = abγ ( a+bγ )( abγ ) = abγ a 2 b 2 γ 2 = abγ a 2 b 2 c = a a 2 b 2 c b a 2 b 2 c γ a a 2 b 2 c , b a 2 b 2 c

    以上より、問題のすべての数の集合は体である。

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