2017年10月26日木曜日

学習環境

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(線型写像)、9(線型写像の像と核)、問題5.を取り組んでみる。

  1. v1、v2をベクトル空間Vの任意の元とする。

    F(v1) = F(v2)とする。

    G( F( v 1 ) )=G( F( v 2 ) ) ( GF )( v 1 )=( GF )( v 2 ) I V ( v 1 )= I V ( v 2 ) v 1 = v 2

    よって、線型写像Fは単射。

    定理3.20より、Fは同型写像である。

    vをVの任意の元とする。

    F( v )W G( F( v ) ) =( GF )( v ) = I V ( v ) =v

    よって、Gは全射。

    ゆえに、定理3.20より、Gは同型写像である。

    vをVの任意の元とする。

    G( F( v ) ) =( GF )( v ) =v

    wをWの任意の元とする。

    G( F( G( w ) ) ) =( GF )( G( w ) ) = I V ( G( w ) ) =G( w )

    Gは同型写像、すなわち単射なので次のことが成り立つ。

    F( G( w ) )=w ( FG )( w )=w

    よって、F、Gは互いの他の逆写像となている。(証明終)

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