2017年10月23日月曜日

学習環境

集合論入門(基礎数学シリーズ)(松村 英之(著)、朝倉書店)の1.(集合算)、1.8(関係、同値関係、商集合)の練習問題11.を取り組んでみる。

      1. 反射律。

        ( x,x ) X 2 xRsxSx ( x,x )RS
      2. 対称律。

        ( x,y ) X 2 ( x,y )RS xRyxSy yRxySx ( y,x )RS
      3. 推移律。

        ( x,y ),( y,z ) X 2 ( x,y )RS( y,z )RS ( xRyxSy )( yRzySz ) ( xRyyRz )( xSyySz ) xRzxSz ( x,z )RS

      よって、2つの同値関係の共通部分は同値関係である。

    • 推移律について。

      ( x,y ),( y,z ) X 2 ( x,y )RS( y,z )RS ( xRyxSy )( yRzySz )

      次のことを満たすx、y、zについて、上記の条件は成り立つ。

      xRyySz¬yRz¬xSy

      しかし、xRzまたはxSzは成り立たない。

      よって同値関係R、Sの和集合は一般に同値関係ではない。

      具体的な集合で考える。

      Xを実数すべての集合とし、Rを関係 x < y、Sを関係 x > yとする。

      x = 1、y = 2、z = 1とする。

      x < y、y > z が成り立つ。

      ( x,y )RS( y,z )RS

      このとき、x = zなので、x < y、x > z は両方とも成り立たない。

      ( x,z )RS

      このことから、同値関係の和集合は一般に同値関係ではないことがわかる。

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

from matplotlib_venn import venn3_unweighted
import matplotlib.pyplot as plt

from sympy import pprint, FiniteSet

X = FiniteSet(*range(10))
R = FiniteSet(*range(5))
S = FiniteSet(*range(1, 6))

for X in [X, R, S, R & S, R | S]:
    pprint(X)
    print()

venn3_unweighted(subsets=(X, R, S))
plt.savefig('sample11.svg')

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3, 4}

{0, 1, 2, 3, 4, 5}

$

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