2017年11月2日木曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2部(微分と基本的な関数)、第8章(指数関数と対数関数)、2(指数関数)、練習問題8.を取り組んでみる。

    1. y = f(x)とおいたとき、問題の方程式について。

      dy dx =Ky y0 dy y =Kdx

      y = 0のとき。

      両辺の積分を考える。

      dy y = Kdx log| y |=Kx+ C 1 | y |= e Kx+ C 1 | y |= e Kx e C 1 y=± e C 1 e Kx y=C e kx ( C=± e C 1 )

      y = 0のとき。

      f( x )=0 f'( x )=0 f'( x )=K0=Kf( x ) f( x )=0=0 e Kx

      よって、問題の定数Cが存在する。

    2. y = f(x)とおく。

      dy dx =2xy y0 dy y =2xdx

      両辺の積分を考える。

      1 y dy = ( 2x )dx log| y |= x 2 + C 1 | y |= e x 2 + C 1 | y |= e x 2 e C 1 y=± e C 1 e x 2 y=C e x 2

      y = 0のとき。

      f'( x )=0=2x·0=2xf( x ) f( x )=0=0 e x 2

      よって、問題の定数Cは存在する。

    3. y = f(x)とおく。

      dy dx =h'( x )y y0 dy y =h'( x )dx

      両辺の積分を考える。

      1 y dy = h'( x )dx log| y |=h( x )+ C 1 | y |= e h( x )+ C 1 y=± e h( x ) e C 1 y=C e h( x )

      y = 0のとき。

      f'( x )=0=h'( x )0=h'( x )f( x ) f( x )=0=0C e h( x )

      よって、問題のことが成り立つ。(証明終)

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, Derivative, solve

print('8.')
print('(a)')
x, K, C = symbols('x K C')
f = C * exp(K * x)
D = Derivative(f, x, 1)
f1 = D.doit()
for t in [D, f1]:
    pprint(t)
    print()

for C1 in range(-5, 5):
    pprint((f1 - K * f).subs({C: exp(C1)}) == 0)
print()

print('(b)')
f = C * exp(-x ** 2)
D = Derivative(f, x, 1)
f1 = D.doit()
for t in [D, f1]:
    pprint(t)

for C1 in range(-5, 5):
    pprint((f1 - -2 * x * f).subs({C: exp(C1)}) == 0)

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample8.py
8.
(a)
∂ ⎛   K⋅x⎞
──⎝C⋅ℯ   ⎠
∂x        

     K⋅x
C⋅K⋅ℯ   

True
True
True
True
True
True
True
True
True
True

(b)
  ⎛     2⎞
∂ ⎜   -x ⎟
──⎝C⋅ℯ   ⎠
∂x        
          2
        -x 
-2⋅C⋅x⋅ℯ   
True
True
True
True
True
True
True
True
True
True
$

HTML5

<div id="graph0"></div>
<pre id="output0"></pre>
<label for="r0">r = </label>
<input id="r0" type="number" min="0" value="0.5">
<label for="dx">dx = </label>
<input id="dx" type="number" min="0" step="0.001" value="0.005">
<br>
<label for="x1">x1 = </label>
<input id="x1" type="number" value="-5">
<label for="x2">x2 = </label>
<input id="x2" type="number" value="5">
<br>
<label for="y1">y1 = </label>
<input id="y1" type="number" value="-5">
<label for="y2">y2 = </label>
<input id="y2" type="number" value="5">

<button id="draw0">draw</button>
<button id="clear0">clear</button>

<script type="text/javascript" src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/d3/4.2.6/d3.min.js" integrity="sha256-5idA201uSwHAROtCops7codXJ0vja+6wbBrZdQ6ETQc=" crossorigin="anonymous"></script>

<script src="sample8.js"></script>

JavaScript

let div0 = document.querySelector('#graph0'),
    pre0 = document.querySelector('#output0'),
    width = 600,
    height = 600,
    padding = 50,
    btn0 = document.querySelector('#draw0'),
    btn1 = document.querySelector('#clear0'),
    input_r = document.querySelector('#r0'),
    input_dx = document.querySelector('#dx'),
    input_x1 = document.querySelector('#x1'),
    input_x2 = document.querySelector('#x2'),
    input_y1 = document.querySelector('#y1'),
    input_y2 = document.querySelector('#y2'),
    inputs = [input_r, input_dx, input_x1, input_x2, input_y1, input_y2],
    p = (x) => pre0.textContent += x + '\n',
    range = (start, end, step=1) => {
        let res = [];
        for (let i = start; i < end; i += step) {
            res.push(i);
        }
        return res;
    };

let colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'brown'],
    fs = colors.map((color, i) => [(x) => Math.exp(i / 2 * x), color]);

let draw = () => {
    pre0.textContent = '';

    let r = parseFloat(input_r.value),
        dx = parseFloat(input_dx.value),
        x1 = parseFloat(input_x1.value),
        x2 = parseFloat(input_x2.value),
        y1 = parseFloat(input_y1.value),
        y2 = parseFloat(input_y2.value);

    if (r === 0 || dx === 0 || x1 > x2 || y1 > y2) {
        return;
    }    

    let points = [],
        lines = [],
        fns = fs,
        fns1 = [],
        fns2 = [];

    fns
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            for (let x = x1; x <= x2; x += dx) {
                let y = f(x);

                points.push([x, y, color]);
            }
        });

    fns1
        .forEach((o) => {
            let [f, color] = o;
            
            lines.push([x1, f(x1), x2, f(x2), color]);
        });
        
    fns2
        .forEach((o) => {
           let [f, color] = o;

            for (let x = x1; x <= x2; x += dx0) {
                let g = f(x);
                lines.push([x1, g(x1), x2, g(x2), color]);
            }
        });
    
    let xscale = d3.scaleLinear()
        .domain([x1, x2])
        .range([padding, width - padding]);
    let yscale = d3.scaleLinear()
        .domain([y1, y2])
        .range([height - padding, padding]);

    let xaxis = d3.axisBottom().scale(xscale);
    let yaxis = d3.axisLeft().scale(yscale);
    div0.innerHTML = '';
    let svg = d3.select('#graph0')
        .append('svg')
        .attr('width', width)
        .attr('height', height);

    svg.selectAll('line')
        .data([[x1, 0, x2, 0], [0, y1, 0, y2]].concat(lines))
        .enter()
        .append('line')
        .attr('x1', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('y1', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('x2', (d) => xscale(d[2]))
        .attr('y2', (d) => yscale(d[3]))
        .attr('stroke', (d) => d[4] || 'black');

    svg.selectAll('circle')
        .data(points)
        .enter()
        .append('circle')
        .attr('cx', (d) => xscale(d[0]))
        .attr('cy', (d) => yscale(d[1]))
        .attr('r', r)
        .attr('fill', (d) => d[2] || 'green');

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(0, ${height - padding})`)
        .call(xaxis);

    svg.append('g')
        .attr('transform', `translate(${padding}, 0)`)
        .call(yaxis);

    [fns, fns1, fns2].forEach((fs) => p(fs.join('\n')));
};

inputs.forEach((input) => input.onchange = draw);
btn0.onclick = draw;
btn1.onclick = () => pre0.textContent = '';
draw();







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