2018年2月2日金曜日

学習環境

解析入門〈3〉(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第14章(多変数の関数)、14.2(高次偏導関数、テイラーの定理)、問題3-(a).を取り組んでみる。


    1. t = a x + b y
      z x = f t + a x f ' t + a y g ' t
      2 z x 2 = a f ' t + a f ' t + a 2 x f ' ' f + a 2 y g ' ' t = 2 a f ' t + a 2 x f ' ' t + a 2 y g ' ' t
      z y = g t + b y g ' t + b x f ' t
      2 z y 2 = b g ' t + b g ' t + b 2 y g ' ' t + b 2 x f ' ' t = 2 b g ' t + b 2 y g ' ' t + b 2 x f ' ' t
      2 z x y = a g ' t + a b y g ' ' t + b f ' t + a b x f ' ' t
      b 2 2 z x 2 = 2 a b 2 f ' t + a 2 b 2 x f ' ' t + a 2 b 2 y g ' ' t
      a 2 2 z y 2 = 2 a 2 b g ' t + a 2 b 2 y g ' ' t + a 2 b 2 x f ' ' t
      2 a b 2 z x y = 2 a 2 b g ' t + 2 a 2 b 2 y g ' ' t + 2 a b 2 f ' t + 2 a 2 b 2 x f ' ' t

      よって、

      b 2 2 z x 2 - 2 a b γ 2 z x y + a 2 2 z y 2 = 0

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Function, Derivative

a, b, x, y = symbols('a, b, x, y')
f = Function('f')(a * x + b * y)
g = Function('g')(a * x + b * y)
z = x * f + y * g
eq = b ** 2 * Derivative(z, x, 2) - 2 * a * b * \
    Derivative(Derivative(z, y, 1), x, 1) + a ** 2 * Derivative(z, y, 2)
for t in [f, g, z, eq]:
    for s in [t, t.doit().factor()]:
        pprint(s)
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
f(a⋅x + b⋅y)

f(a⋅x + b⋅y)


g(a⋅x + b⋅y)

g(a⋅x + b⋅y)


x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y)

x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y)


     2                                          ⎛      ⎛  2        ⎞│         
 2  ∂                                           ⎜      ⎜ d         ⎟│         
a ⋅───(x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y)) - 2⋅a⋅b⋅⎜a⋅b⋅x⋅⎜────(f(ξ₁))⎟│         
     2                                          ⎜      ⎜   2       ⎟│         
   ∂y                                           ⎝      ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅x + 

            ⎛  2        ⎞│                                                    
            ⎜ d         ⎟│                 ⎛ d        ⎞│                 ⎛ d  
    + a⋅b⋅y⋅⎜────(g(ξ₁))⎟│             + a⋅⎜───(g(ξ₁))⎟│             + b⋅⎜───(
            ⎜   2       ⎟│                 ⎝dξ₁       ⎠│ξ₁=a⋅x + b⋅y     ⎝dξ₁ 
b⋅y         ⎝dξ₁        ⎠│ξ₁=a⋅x + b⋅y                                        

                    ⎞        2                                 
      ⎞│            ⎟    2  ∂                                  
f(ξ₁))⎟│            ⎟ + b ⋅───(x⋅f(a⋅x + b⋅y) + y⋅g(a⋅x + b⋅y))
      ⎠│ξ₁=a⋅x + b⋅y⎟        2                                 
                    ⎠      ∂x                                  

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